$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Préparer sa kholle : fonctions convexes

L'exercice qu'il faut savoir faire
Exercice 1 - Logarithme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que $f(x)=\ln(\ln (x))$ est concave sur $]1,+\infty[$.
  2. En déduire que $\forall a,b>1,\ \ln\left(\frac{a+b}{2}\right)\geq \sqrt{\ln a.\ln b}$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Fonctions convexes croissantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction convexe croissante. Montrer que $f$ est constante ou que $\lim_{+\infty}f=+\infty$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Fonctions logarithmiquement convexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans tout l'exercice, $I$ et $J$ désignent des intervalles.
  1. Soit $f:I\to \mathbb R$ une fonction convexe croissante et soit $g:J\to I$ une fonction convexe. Démontrer que $f\circ g$ est convexe.
  2. Soit $f: I\to ]0,+\infty[$. On dit que $f$ est logarithmiquement convexe si $\ln f$ est convexe. Démontrer que si $f$ est logarithmiquement convexe, alors $f$ est convexe. La réciproque est-elle vraie?
  3. On suppose que pout tout $\alpha>0,$ $f^\alpha$ est convexe.
    1. Pour $t\in [0,1]$, $x,y\in I$ et $\alpha\geq 0,$ on pose $u(\alpha)=\exp\big(\alpha \ln f(tx+(1-t)y)\big)$ et $v(\alpha)=t\exp\big(\alpha \ln f(x)\big)+(1-t)\exp\big(\alpha \ln f(y)\big)$. Justifier que $u'(0)\leq v'(0)$.
    2. En déduire que $f$ est logarithmiquement convexe.
Indication
Corrigé