$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : compacité, connexité, evn de dimension finie

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soit $\mathcal C=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R^n;\ x_1+\dots+x_n=1,\ x_1\geq0,\dots,x_n\geq 0\}$. Soit également $f:\mathcal C\to\mathbb R^+$ une fonction continue telle que $f(x)>0$ pour tout $x\in\mathcal C$. Démontrer que $\inf_{x\in\mathcal C}f(x)>0$.
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Exercice 2 - Boule de rayon minimal contenant une partie bornée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $A$ une partie bornée de $E$ non vide.
  1. Soit $a\in E$. Démontrer qu'il existe une boule $\bar B(a,R_a)$ de rayon minimal qui contient $A$.
  2. On pose $R=\inf\{R_a;\ a\in E\}$. Démontrer qu'il existe $b\in E$ tel que $A\subset \bar B(b,R)$.
En particulier, $\bar B(b,R)$ est une boule de $E$ de rayon minimal contenant $A$.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Application localement constante sur un connexe par arcs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie d'un espace vectoriel normé $E$, et $f:A\to F$ une application continue, où $F$ est un espace vectoriel normé. On dit que $f$ est localement constante si, pour tout $a\in A$, il existe $r>0$ tel que $f$ est constante sur $B(a,r)\cap A$. Le but de l'exercice est de démontrer que si $A$ est connexe par arcs et $f$ est localement constante, alors $f$ est constante. Pour cela, on fixe $a,b\in A$ et on considère $\phi:[0,1]\to A$ un chemin continu tel que $\phi(0)=a$ et $\phi(1)=b$. On pose $t=\sup\{s\in [0,1];\ f(\phi(s))=f(a)\}$.
  1. Démontre que $t=1$.
  2. Conclure.
Indication
Corrigé