$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : calcul différentiel

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Soit $f:\mtr^2\to\mtr$ une application de classe $C^1$.
  1. On définit, pour $(x,y)\in\mtr^2$ fixé, $g:\mtr\to\mtr,$ $t\mapsto g(t)=f(tx,ty).$ Montrer que $g$ est dérivable sur $\mtr$, et calculer sa dérivée.
  2. On suppose désormais que $f(tx,ty)=tf(x,y)$ pour tous $x,y,t\in\mtr$.
    1. Montrer que pour tous $x,y,t\in\mtr$, on a $$f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)x+\frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty)y.$$
    2. En déduire qu'il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ que l'on déterminera tels que, pour tous $(x,y)\in\mtr^2$, on a $$f(x,y)=\alpha x+\beta y.$$
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Une fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ de classe $C^2$ est dite harmonique si son laplacien est nul, ie si $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0.$$ Dans toute la suite, on fixe $f$ une fonction harmonique.
  1. On suppose que $f$ est de classe $C^3$.Démontrer que $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ et $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$ sont harmoniques.
  2. On suppose désormais que $f$ est radiale, c'est-à-dire qu'il existe $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $f(x,y)=\varphi(x^2+y^2)$. Démontrer que $\varphi'$ est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.
  3. En déduire toutes les fonctions harmoniques radiales.
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Volume et surface d'une boite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On désire fabriquer une boite ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette boite doit être égal à $0,5m^3$ et pour optimiser la quantité de mâtière utilisée, on désire que la somme des aires des faces soit aussi petite que possible. Quelles dimensions doit-on choisir pour fabriquer la boite?
Indication
Corrigé