$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Préparer sa kholle : Anneaux

L'exercice qu'il faut savoir faire
Enoncé
Résoudre, dans $\mathbb Z/37\mathbb Z$, les équations ou systèmes d'équations suivants :
  1. $\bar 7y=\bar 2$.
  2. $\left\{\begin{array}{rcl} \bar 3x+\bar 7y&=&\bar 3\\ \bar 6x-\bar 7y&=&\bar 0 \end{array}\right.$
Indication
Corrigé
L'exercice standard
Enoncé
Soit $\mathbb D$ l'ensemble des nombres décimaux, $$\mathbb D=\left\{\frac{n}{10^k};\ n\in\mathbb Z, k\in\mathbb N\right\}.$$ Démontrer que $(\mathbb D,+,\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
Indication
Corrigé
L'exercice pour les héros
Exercice 3 - Carrés de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on s'intéresse au nombre de solutions de l'équation $x^2=1$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, où $n\geq 2$.
  1. Quel est le nombre de solutions pour $n=p^\alpha$, où $\alpha\geq 1$ et $p$ est un nombre premier impair?
  2. Quel est le nombre de solutions pour $n=2,4$?
  3. Quel est le nombre de solutions pour $n=2^\alpha$, $\alpha\geq 3$?
  4. Quel est le nombre de solutions pour une valeur quelconque de $n$?
Indication
Corrigé