$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : réduction des endomorphismes

Démontrer qu'une matrice est diagonalisable
  Pour démontrer qu'une matrice $A$ est diagonalisable,
  • la méthode la plus classique consiste à calculer le polynôme caractéristique $\chi_A$ et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de $A$. Si $\chi_A$ n'est pas scindé, $A$ n'est pas diagonalisable. Si $\chi_A$ est scindé à racines simples, $A$ est diagonalisable. Si $\chi_A$ est scindé sans être à racines simples, pour chaque valeur propre, on cherche une base de l'espace propre associé et on étudie si la dimension de cet espace propre vaut la multiplicité de la racine.
  • dans le cas où la matrice a un petit rang (un ou deux), on peut essayer de déterminer directement un ou deux vecteurs propres indépendants en étudiant la forme de la matrice (voir cet exercice).
Diagonaliser effectivement une matrice $A$
  Pour diagonaliser effectivement une matrice $A$,
  • on cherche ses valeurs propres par exemple en calculant le polynôme caractéristique;
  • pour chaque valeur propre, on cherche une base de l'espace propre associé;
  • on a alors $A=PDP^{-1}$ où $P$ est la matrice dont les colonnes sont constituées par la réunion des bases des espaces propres et la matrice $D$ est la matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres de $A$, écrites dans le même ordre que les vecteurs colonnes de $P$
(voir cet exercice).
Déterminer une racine carrée, cubique, $n$-ième d'une matrice
  Pour déterminer une racine carrée d'une matrice $A$, on peut :
  • Diagonaliser $A$, $A=PDP^{-1}$;
  • Chercher une racine carrée de $D$ en considérant la matrice $E$ diagonale dont les coefficients sur la diagonale sont les racines carrées des coefficients de $D$;
  • Poser $B=PEP^{-1}$ qui vérifie bien $B^2=A$.
La même méthode fonctionne pour une racine cubique ou plus généralement pour une racine $n$-ième (voir cet exercice).
A la recherche de contre-exemples
  • Les prototypes de matrices non-diagonalisables sont $$A=\left(\begin{array}{cc} a&1\\ 0&a \end{array} \right)$$ admettant une seule valeur propre $a$, et non diagonalisable car sinon elle serait égale à $aI_2$, et $$B=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array} \right)$$ qui n'est pas diagonalisable sur $\mathbb R$ car son polynôme caractéristique est $X^2+1$, qui n'admet pas de racines dans $\mathbb R$.
Calculer les puissances d'une matrice à l'aide d'un polynôme annulateur
  Pour calculer les puissances d'une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$, on peut
  • déterminer un polynôme annulateur $P$ de $A$; par exemple, mais pas toujours, on peut utiliser pour $P$ le polynôme caractéristique de $A$;
  • effectuer la division euclidienne de $X^k$ par $P$ : $X^k=PQ+R$;
  • on a alors $A^k=R(A)$
(voir cet exercice).
Déterminer le polynôme minimal d'une matrice
  Pour déterminer le polynôme minimal d'une matrice $A$, on peut utiliser l'une des méthodes suivantes :
  • calculer les puissances de $A$ et trouver une relation entre elles de degré le plus petit possible;
  • chercher le polynôme minimal parmi les diviseurs du polynôme caractéristique, en se souvenant que ces deux polynômes ont les mêmes racines;
  • chercher à étudier si $A$ est diagonalisable, dans ce cas, son polynôme minimal est $(X-\lambda_1)\cdots(X-\lambda_p)$ où $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont les valeurs propres distinctes de $A$
(voir cet exercice).
Exploiter l'existence d'un polynôme annulateur pour en déduire des propriétés sur une matrice
  Pour déterminer des propriétés d'une matrice $A$ sachant qu'il existe un polynôme $P$ tel que $P(A)=0$, on peut
  • factoriser $P$; les valeurs propres de $A$ sont contenues dans les racines de $P$;
  • exprimer la propriété voulue à l'aide des valeurs propres (le déterminant est le produit des valeurs propres quand la matrice est diagonalisable,….);
  • quand la matrice est réelle, on pourra utiliser que la multiplicité d'une valeur propre est égale à la multiplicité de la valeur propre conjuguée;
(voir cet exercice).
Étudier la diagonalisabilité d'une matrice $A$ à l'aide d'un polynôme annulateur
  Pour étudier si une matrice $A$ est diagonalisable, on peut utiliser le fait qu'elle est diagonalisable si et seulement si elle annule un polynôme annulateur scindé à racines simples (voir cet exercice).