$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Espaces vectoriels

Démontrer qu'une partie est/n'est pas un sous-espace vectoriel

Pour démontrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que $0_E\in F$ et que, pour tout couple $(x,y)\in F^2$ et tout scalaire $\lambda\in\mathbb K$, on a $$\left\{ \begin{array}{l} x+y\in F\\ \lambda x\in F. \end{array} \right.$$ On peut aussi conclure directement si $F$ est l'ensemble des solutions d'un système linéaire homogène ou si on arrive à écrire $F$ sous la forme $F=\vect(u_1,\dots,u_n)$.

Si on veut démontrer que $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$, il faut trouver un contre-exemple à une propriété vérifiée par les sous-espaces vectoriels. Le plus souvent

  • on montre que $0_E\notin F$;
  • ou bien on trouve $x,y\in F$ tel que $x+y\notin F$;
  • ou bien on trouve $x\in F$ et $\lambda\in\mathbb K$ tel que $\lambda x\notin F$
(voir cet exercice ou celui-ci).
Démontrer que des sous-espaces sont en somme directe/supplémentaires

Pour démontrer que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe, on vérifie simplement que $F\cap G=\{0\}$ (voir cet exercice).

Pour prouver que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ :

  • on commence par prouver qu'ils sont en somme directe;
  • on procède ensuite souvent par analyse synthèse. On prend $x\in E$ et on suppose qu'il s'écrit $x=y+z$ avec $y\in F$ et $z\in G$. On utilise ensuite les propriétés de $F$ et $G$ pour essayer de trouver la valeur de $y$ et la valeur de $z$. Ensuite, on passe à la synthèse. On pose, en fonction du travail effectué auparavant, $y=\dots$, $z=\dots$, on vérifie que $x=y+z$, que $y\in F$ et $z\in G$ (voir cet exercice ou celui-ci).

Pour démontrer que $E=F\oplus G$, on peut aussi

  • trouver la dimension de $F$, la dimension de $G$, vérifier que $F\cap G=\{0\}$ puis que $\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)$ (voir cet exercice).
  • trouver une base de $F$, une base de $G$, et vérifier que la concaténation des deux est une base de $E$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une famille est libre

Pour démontrer qu'une famille $(x_1,\dots,x_n)$ est libre, on écrit une relation de liaison $$\sum_{i=1}^n \alpha_ix_i=0$$ et on essaie de démontrer que tous les $\alpha_i$ sont nuls. Pour cela :

  • si les $x_i$ sont des vecteurs de $\mathbb R^n$, on écrit ce que cela signifie coordonnées par coordonnées, et on trouve un système en les $\alpha_i$ à résoudre (voir cet exercice).
  • si les $x_i$ sont des polynômes, on peut essayer de raisonner sur le degré (voir cet exercice).
  • si les $x_i$ sont des fonctions, on peut
    • évaluer les fonctions en certains points bien choisis
    • dériver la relation pour obtenir d'autres équations
    • factoriser par la fonction "dominante" et calculer des limites…
(voir cet exercice ou celui-ci).
Démontrer qu'une application linéaire est injective

Pour démontrer qu'une application linéaire est injective, on montre que son noyau est réduit à $\{0\}$ (voir cet exercice ou celui-ci ou celui-ci)

Démontrer qu'une famille est une base

Pour démontrer qu'une famille $(v_1,\dots,v_n)$ est une base de $E$, on peut

  • prouver qu'elle est libre et génératrice (voir cet exercice);
  • prouver qu'elle est libre et, si on connait la dimension de $E$, remarquer qu'elle possède le même nombre de vecteurs que la dimension de $E$ (voir cet exercice).
Compléter une famille libre en une base

Pour compléter une famille libre $(v_1,\dots,v_p)$ d'un espace vectoriel $E$, on utilise le théorème de la base incomplète : si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, on sait qu'on peut compléter $(v_1,\dots,v_p)$ avec $n-p$ vecteurs de $(e_1,\dots,e_n)$ pour obtenir une base de $E$. On choisit donc $n-p$ vecteurs de $(e_1,\dots,e_n)$, par exemple $(e_1,\dots,e_{n-p})$ et on regarde si la famille $(v_1,\dots,v_p,e_1,\dots,e_{n-p})$ est libre. Si c'est le cas, on a terminé. Sinon, on recommence en choisissant $n-p$ autres vecteurs. Certains choix peuvent ne pas fonctionner mais on est sûr qu'au moins un choix conduira à une base (voir cet exercice).

Trouver une base d'un sous-espace vectoriel
  Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel $F$, on peut :
  • chercher une famille génératrice $\mathcal B$ de $F$;
  • si $\mathcal B$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre
(voir cet exercice).

Trouver une base de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels
(voir cet exercice)
Trouver une base de $F+G$

Pour trouver une base de la somme $F+G$ de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$, on peut :

  • trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$, une base $\mathcal B_2$ de $G$;
  • on sait alors que $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est une famille génératrice de $F+G$;
  • si $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
(voir cet exercice ou celui-là).

Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont égaux

Pour démontrer que les deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont égaux, on peut :

  • démontrer que $F\subset G$ et que $\dim F=\dim G$ (voir cet exercice).
  • si $F=\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p)$ et $G=\textrm{vect}(v_1,\dots,v_q)$, démontrer que chaque $u_i$ est élément de $\textrm{vect}(v_1,\dots,v_q)$ (autrement dit, chaque $u_i$ s'écrit comme combinaison linéaire de $(v_1,\dots,v_q)$) puis que chaque $v_j$ est élément de $\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p)$ (voir cet exercice).
Trouver un supplémentaire d'un sous-espace vectoriel
  Pour trouver un supplémentaire de $F$ dans $E$, on peut
  • trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$.
  • compléter, à l'aide d'une base de $E$, $\mathcal B_1$ en une base $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ de $E$.
  • l'espace vectoriel engendré par $\mathcal B_2$ est alors un supplémentaire de $F$ dans $E$.
(voir cet exercice).

Trouver une base de l'image d'une application linéaire

Pour trouver une base de l'image de $u$, où $u\in\mathcal L(E,F)$, on peut

  • remarquer que si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, alors $(u(e_1),\dots,u(e_n))$ est une famille génératrice de $\textrm{Im}(u)$.
  • si la famille est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre
(voir cet exercice).

Si on a calculé auparavant le noyau d'une application linéaire, le théorème du rang nous donne la dimension de son image. Dans ce cas, il suffit de trouver une famille libre ayant le bon nombre de vecteurs de la famille génératrice $(u(e_1),\dots,u(e_n))$ de $\textrm{Im}(u)$ (voir cet exercice).

Construire des endomorphismes vérifiant des propriétés particulières

Pour construire des applications linéaires vérifiant des propriétés particulières, on peut

  • définir l'application linéaire à l'aide de l'image d'une base;
  • définir l'application linéaire en utilisant une décomposition en somme directe $E=F\oplus G$. Il suffit alors de définir l'application linéaire séparément sur $F$ et sur $G$;
(voir cet exercice ou celui-là).