$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Espaces vectoriels

Démontrer qu'une partie est/n'est pas un sous-espace vectoriel
  • pour démontrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, on applique la caractérisation des sous-espaces vectoriels, c'est-à-dire qu'on vérifie que $0_E\in F$ et que, pour tout couple $(x,y)\in F^2$ et tout scalaire $\lambda\in\mathbb K$, on a $$\left\{ \begin{array}{l} x+y\in F\\ \lambda x\in F \end{array} \right.$$
  • si on veut démontrer que $F$ n'est pas un sous-espace vectoriel de $E$, il faut trouver un contre-exemple. Le plus souvent
    • on montre que $0_E\notin F$;
    • ou bien on trouve $x,y\in F$ tel que $x+y\notin F$;
    • ou bien on trouve $x\in F$ et $\lambda\in\mathbb K$ tel que $\lambda x\notin F$
(voir cet exercice ou celui-ci).
Démontrer que des sous-espaces sont en somme directe/supplémentaires
  • Pour démontrer que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont en somme directe, on vérifie simplement que $F\cap G=\{0\}$ (voir cet exercice).
  • Pour démontrer que trois sous-espaces ou plus $E_1,\dots,E_n$ sont en somme directe, on prend $x_1\in E_1,\dots,x_n\in E_n$ tels que $x_1+\dots+x_n=0$. On utilise alors les propriétés des sous-espaces pour prouver que $x_1=\dots=x_n=0$ (voir cet exercice).
  • Pour prouver que deux sous-espaces $F$ et $G$ sont supplémentaires dans $E$ :
    • on commence par prouver qu'ils sont en somme directe;
    • on procède ensuite souvent par analyse synthèse. On prend $x\in E$ et on suppose qu'il s'écrite $x=y+z$ avec $y\in F$ et $z\in G$. On utilise ensuite les propriétés de $F$ et $G$ pour essayer de trouver la valeur de $y$ et la valeur de $z$. Ensuite, on passe à la synthèse. On pose, en fonction du travail effectué auparavant, $y=\dots$, $z=\dots$, on vérifie que $x=y+z$, que $y\in F$ et $z\in G$ (voir cet exercice ou celui-ci).
Démontrer qu'une famille est libre
  Pour démontrer qu'une famille $(x_1,\dots,x_n)$ est libre, on écrit une relation de liaison $$\sum_{i=1}^n \alpha_ix_i=0$$ et on essaie de démontrer que tous les $\alpha_i$ sont nuls. Pour cela :
  • si les $x_i$ sont des vecteurs de $\mathbb R^n$, on écrit ce que cela signifie coordonnées par coordonnées, et on trouve un système en les $\alpha_i$ à résoudre (voir cet exercice).
  • si les $x_i$ sont des polynômes, on peut essayer de raisonner sur le degré (voir cet exercice).
  • si les $x_i$ sont des fonctions, on peut
    • évaluer les fonctions en certains points bien choisis
    • dériver la relation pour obtenir d'autres équations
    • factoriser par la fonction "dominante" et calculer des limites…
    (voir cet exercice ou celui-ci).
Démontrer qu'une application linéaire est injective
  Pour démontrer qu'une application linéaire est injective, on montre que son noyau est réduit à $\{0\}$ (voir cet exercice ou celui-ci ou celui-ci)
Démontrer qu'une famille est une base
  Pour démontrer qu'une famille $(v_1,\dots,v_n)$ est une base de $E$, on peut
  • prouver qu'elle est libre et génératrice (voir cet exercice);
  • prouver qu'elle est libre et, si on connait la dimension de $E$, remarquer qu'elle possède le même nombre de vecteurs que la dimension de $E$ (voir cet exercice).
Trouver une base d'un sous-espace vectoriel
  Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel $F$, on peut :
  • chercher une famille génératrice $\mathcal B$ de $F$;
  • si $\mathcal B$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre
(voir cet exercice).
Trouver une base de $F+G$
  Pour démontrer que $E=F+G$, on peut :
  • trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$, une base $\mathcal B_2$ de $G$;
  • $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est une famille génératrice de $F+G$;
  • si $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires
  Pour démontrer que $E=F\oplus G$, on peut :
  • trouver la dimension de $F$, la dimension de $G$, vérifier que $F\cap G=\{0\}$ puis que $\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)$
  • trouver une base de de $F$, une base de $G$, et vérifier que la réunion des deux est une base de $E$ (voir cet exercice).
Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont égaux
  Pour démontrer que $F=G$, on peut démontrer que $F\subset G$ et que $\dim F=\dim G$ (voir cet exercice).
Trouver un supplémentaire d'un sous-espace vectoriel
  Pour trouver un supplémentaire de $F$ dans $E$, on peut
  • trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$.
  • compléter, à l'aide d'une base de $E$, $\mathcal B_1$ en une base $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ de $E$.
  • l'espace vectoriel engendré par $\mathcal B_2$ est alors un supplémentaire de $F$ dans $E$.
Trouver une base de l'image d'une application linéaire
  Pour trouver une base de l'image de $u$, où $u\in\mathcal L(E,F)$, on peut
  • remarquer que si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, alors $(u(e_1),\dots,u(e_n))$ est une famille génératrice de $\textrm{Im}(u)$.
  • si la famille est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
Construire des endomorphismes vérifiant des propriétés particulières
  Pour construire des applications linéaires vérifiant des propriétés particulières, on peut
  • définir l'application linéaire à l'aide de l'image d'une base;
  • définir l'application linéaire en utilisant une décomposition en somme directe $E=F\oplus G$. Il suffit alors de définir l'application linéaire séparément sur $F$ et sur $G$;
(voir cet exercice ou celui-là).