$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : Fonctions continues

Démontrer qu'une fonction $f$ n'admet pas de limite en $a$

Pour démontrer qu'une fonction $f$ n'admet pas de limite en $a$, on peut :

  • démontrer que les limites à gauche et à droite sont différentes (voir cet exercice);
  • trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui convergent toutes les deux vers $a$ et telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice);
  • si $f$ est définie en $a$, trouver une suite $(u_n)$ qui tend vers $a$ tel que $(f(u_n))$ ne converge pas vers $f(a)$.
Démontrer qu'une fonction peut se prolonger par continuité en $a$

Pour démontrer qu'une fonction définie sur $I\backslash\{a\}$ peut se prolonger par continuité en $a$, on démontre que $\lim_{x\to a}f(x)$ existe. On prolonge alors $f$ par continuité en posant $f(a)=\lim_a f.$ (voir cet exercice).

Démontrer qu'on ne peut pas prolonger par continuité $f$ en $a$

Pour démontrer qu'on ne peut pas prolonger une fonction $f$ en un point $a,$ on peut trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui tendent vers $a$ telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice). On peut aussi prouver que les limites à droite et à gauche de $f$ en $a$ ne coïncident pas (voir cet exercice).

Démontrer qu'une fonction $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$

Pour démontrer que $f$ réalise une bijection de $]a,b[$ sur $]c,d[$, on peut successivement

  • vérifier que $f$ est continue
  • vérifier que $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante
  • étudier les limites aux bornes de $f$, par exemple prouver que $\lim_{x\to a}f(x)=c$ et $\lim_{x\to b}f(x)=d$
(voir cet exercice):
Démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=a$

Pour démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=a,$

  • on peut vérifier que $f$ est continue, trouver $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)<a$ et $f(x_2)>a$. Le théorème des valeurs intermédiaires implique alors qu'il existe $x_0\in [x_1,x_2]$ tel que $f(x_0)=a$.
  • si de plus $f$ est strictement monotone, alors la solution est unique.
Déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=a$

Pour déterminer le nombre de solutions de l'équations $f(x)=a$

  • on étudie la fonction $f$ pour décomposer son domaine de définitions en une réunions d'intervalles $I_1,\dots,I_p$ tels que $f$ est continue et strictement monotone sur $I$; on étudie aussi les limites aux bornes de $f$ sur chacun de ces intervalles;
  • on compte le nombre d'intervalles $I_1,\dots,I_p$ tels que $a\in f(I_j)$; il faut faire attention au cas où $a$ est la valeur prise par $f$ à l'une des bornes d'un des intervalles $I_j$
(voir cet exercice).
Démontrer l'existence d'une solution à $f(x)=g(x)$

Pour démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=g(x),$ ou pour déterminer le nombre de solutions de l'équation $f(x)=g(x),$ on peut appliquer une des méthodes précédentes à la fonction $h(x)=f(x)-g(x)$ (voir cet exercice):

Démontrer que $f$ admet un point fixe

Pour démontrer que $f$ admet (au moins) un point fixe, on applique les techniques précédentes, et notamment l'utilisation du théorème des valeurs intermédiaires, à la fonction $g(x)=f(x)-x$ (voir cet exercice):

Résoudre une équation fonctionnelle

Pour résoudre une équation fonctionnelle (c'est-à-dire une équation dont l'inconnue est une fonction) dans l'ensemble des fonctions continues, on procède par analyse/synthèse. On commence par considérer une fonction $f$ vérifiant les propriétés requises, et on trouve des conditions nécessaires vérifiées par $f$. On peut par exemple :

  • trouver la valeur de $f(x)$ lorsque $x$ est un rationnel. Dans ce cas, on détermine la valeur de $f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$ par continuité de $f$ et par densité de $\mathbb Q$ dans $\mathbb R$ (voir cet exercice);
  • exprimer $f(x)$ en fonction d'une quantité $a_n$ et de $f(x_n)$, où $(a_n)$ et $(x_n)$ sont deux suites convergentes. On détermine alors la valeur de $f(x)$ en passant à la limite et en utilisant la continuité de $f$ (voir cet exercice).

Une fois que l'on a déterminé la forme de $f$, il faut encore vérifier que toutes les fonctions $f$ qui sont définies ainsi conviennent.

Démontrer qu'une fonction est bornée sur $\mathbb R$

Pour démontrer qu'une fonction est bornée sur $\mathbb R$, ou plus généralement sur un intervalle ouvert ou semi-ouvert, on peut

  • vérifier que $f$ est continue
  • démontrer que $f$ admet des limites finies en $+\infty$ et en $-\infty$
  • en déduire, par la définition d'une limite finie, qu'il existe $M>0$ et $A>0$ tel que, si $|x|\geq A,$ on a $|f(x)|\leq M$
  • conclure en utilisant le fait que $f$, qui est continue, est aussi bornée sur le segment $[-A,A]$
(voir cet exercice ou cet exercice).
Démontrer qu'une fonction est uniformément continue

Pour démontrer qu'une fonction est uniformément continue, on peut

  • dans un exercice pratique, démontrer que la fonction est lipschitzienne en utilisant l'inégalité des accroissements finis.
  • dans un exercice théorique, utiliser le théorème de Heine sur un segment et une autre propriété de la fonction sur le reste de son ensemble de définition. Parfois, il sera utile d'appliquer le théorème de Heine sur un segment plus grand que celui qui pourrait sembler naturel, pour "recoller" convenablement (voir cet exercice ou celui-ci).