$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Fonctions continues

Démontrer qu'une fonction $f$ n'admet pas de limite en $a$
  • on peut démontrer que les limites à gauche et à droite sont différentes (voir cet exercice).
  • on peut trouver une suite $(u_n)$ qui tend vers $a$ tel que $(f(u_n))$ ne converge pas vers $f(a)$.
Démontrer qu'on ne peut pas prolonger par continuité $f$ en $a$
  • on peut trouver deux suite $(u_n)$ et $(v_n)$ qui tendent vers $a$ telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$
  Pour démontrer que $f$ réalise une bijection de $]a,b[$ sur $]c,d[$, on peut successivement
  • vérifier que $f$ est continue
  • vérifier que $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante
  • étudier les limites aux bornes de $f$, par exemple prouver que $\lim_{x\to a}f(x)=c$ et $\lim_{x\to b}f(x)=d$.
Démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=a$
  • on peut vérifier que $f$ est continue, trouver $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)<a$ et $f(x_2)>a$. Le théorème des valeurs intermédiaires implique alors qu'il existe $x_0\in [x_1,x_2]$ tel que $f(x_0)=a$.
  • si de plus $f$ est strictement monotone, alors la solution est unique.
Démontrer qu'une fonction est uniformément continue
  Pour démontrer qu'une fonction est uniformément continue, on peut
  • dans un exercice pratique, démontrer que la fonction est lipschitzienne en utilisant l'inégalité des accroissements finis.
  • dans un exercice théorique, utiliser le théorème de Heine sur un segment et une autre propriété de la fonction sur le reste de son ensemble de définition. Parfois, il sera utile d'appliquer le théorème de Heine sur un segment plus grand que celui qui pourrait sembler naturel, pour "recoller" convenablement (voir cet exercice ou celui-ci).