$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : variables aléatoires à densité

Pour réviser
Exercice 1 - Loi uniforme, moyenne et écart-type [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[a,b]$. On note $m$ sa moyenne et $\sigma$ son écart-type. Calculer la probabilité $P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])$.
Corrigé
Enoncé
A partir de 7heures du matin, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt précis. Un usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée, représentée par le nombre de minutes après 7h, est une variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle [0,30]. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de cinq minutes le prochain bus? Qu'il l'attende plus de dix minutes?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Désintégration radioactive. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La durée de vie des atomes de radon suit une loi exponentielle. La probabilité qu'un atome de radon ne soit pas désintégré en 40s sachant qu'il ne l'est pas en 12s vaut $\frac{\sqrt 2}2$. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas désintégré avant 76s sachant qu'il ne l'est pas en 20s?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Lecture de la table de la loi normale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Lecture directe : soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal N(0,1)$. Déterminer $t>0$ tel que $P(-t<X<t)\simeq 0,95$.
  2. Renormalisation : soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal N(8,4)$. Donner des valeurs approchées pour $$P(X<7,5),\ P(X>8,5),\ P(6,5<X<10),\ P(X>6|X>5).$$
  3. Lecture inverse : Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi gaussienne. Déterminer l'espérance et la variance de $X$ sachant que $$\left\{ \begin{array}{rcl} P(X<-1)&\simeq& 0,05\\ P(X>3)&\simeq& 0,12. \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On suppose que la distance en mètres parcourues par un javelot lancé par un athlète A suit une loi normale. Au cours d'un entraînement, on constate que
  • exactement $10\%$ des javelots atteignent plus de $75$ mètres.
  • exactement $25\%$ des javelots atteignent moint de $50$ mètres.
Calculer la longueur moyenne parcourue par un javelot ainsi que l'écart-type de cette longueur.
Corrigé
Pour progresser
Exercice 6 - Uniforme et exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1]$. Démontrer que la variable aléatoire $X=-\ln U$ suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Durée de vie de composants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une usine fabrique des appareils électroniques constitués de deux composants $A$ et $B$ dont les fonctionnements sont indépendants l'un de l'autre et dont les durées de vie (en heures) sont des variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ qui suivent une loi exponentielle de paramètre respectif $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
  1. On a observé que la durée de vie moyenne des composants de type $A$ est de $1000$ heures. Que vaut $\lambda_1$?
  2. On a observé que, en moyenne, un composant sur deux de type $B$ avait une durée de vie inférieure ou égale à 1500 heures, et un sur deux avait une durée de vie supérieure ou égale à 1500 heures. Que vaut $\lambda_2$?
  3. Un appareil fonctionne si et seulement si ses deux composants fonctionnent. On note $T$ la durée de vie d'un appareil. Pour $x$ un réel strictement positif, exprimer $P(T> x)$ en fonction de $P(X_1> x)$ et de $P(X_2> x)$.
  4. En déduire $P(T\leq x)$ en fonction de $\lambda_1$, de $\lambda_2$ et de $x$, puis reconnaitre la loi de $T$.
  5. Sachant que la durée de vie de l'appareil dépasse l'espérance de vie du premier composant, quelle est la probabilité que la durée de vie de l'appareil dépasse l'espérance de vie du deuxième composant ?
  6. Sachant que la durée de vie de l'appareil dépasse l'espérance de vie du deuxième composant, quelle est la probabilité que la durée de vie de l'appareil dépasse l'espérance de vie du premier composant ?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Variable aléatoire sans mémoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'une variable aléatoire $T$ à valeurs dans $\mathbb R_+$ est \emph{sans mémoire} si elle vérifie, pour tous $s,t> 0.$ $$P(T> t+s)=P(T>t)P(T>s).$$
  1. Vérifier qu'une variable aléatoire $T$ vérifiant une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, c'est-à-dire dont la densité est donnée par $f(t)=\lambda\exp(-\lambda t)\mathbf 1_{[0,+\infty[}(t)$ est une variable aléatoire sans mémoire.
  2. Réciproquement, soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb R_+$ sans mémoire et vérifiant $P(T>0)>0$.
    1. On suppose qu'il existe $t>0$ tel que $P(T>t)=0$. Calculer $P(T>t/2^n)$ en fonction de $P(T>t)$. En déduire que $P(T>0)=0$. Conclusion?
    2. Soit $\alpha=P(T>1)$. On souhaite démontrer que $P(T>t)=\alpha^t$ pour tout $t\in\mathbb R_+$.
      1. Démontrer ce résultat si $t\in\mathbb N^*$.
      2. On suppose $t\in\mathbb Q_+^*$ et on note $t=p/q$. Démontrer que $$P(T>p)=\big(P(T>p/q)\big)^q$$ et en déduire que le résultat est vrai pout $t\in\mathbb Q_+^*$.
      3. En utilisant la décroissance de $x\mapsto P(T>x)$, démontrer que le résultat est vrai pour tout $t\in\mathbb R_+$.
    3. Conclure.
  3. Justifier le terme "sans mémoire". On pourra calculer $P(T>s+t|T>s)$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Meilleur intervalle pour la loi normale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. On note $a$ un réel strictement positif. Déterminer, parmi tous les intervalles $I$ de longueur $2a$, celui pour lequel $P(X\in I)$ est maximal.
  2. Reprendre la même question si $X$ suit une loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère le cercle de centre $O$ et de rayon 1. On s'intéresse à la longueur d'une corde de ce cercle perpendiculaire à la droite $(AB)$ lorsque cette corde est choisie "au hasard".
Le plan est munu du repère $(O,\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OD})$.
  1. {\bf Première méthode.} On considère que la corde aléatoire est déterminée par son milieu $H$ qui appartient au diamètre $[AB]$. On appelle $X$ l'abscisse de ce milieu et on fait l'hypothèse que $X$ suit une loi uniforme sur $[-1,1]$.
    1. Calculer la longueur $L_1$ de la corde en fonction de $X$.
    2. Par des considérations d'aires et sans chercher à trouver une primitive, calculer $$\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\,dx\ .$$
    3. En déduire la valeur moyenne de la fonction $x\mapsto\sqrt{1-x^2}$ sur l'intervalle $[-1,1]$, puis l'espérance de $L_1$.
  2. {\bf Deuxième méthode.} On considère que la corde aléatoire est déterminée par le choix d'une de ses extrémités $M$ sur le demi-cercle $\overset{\frown}{ADB}$. On appelle $T$ une mesure de l'angle orienté $\widehat{BOM}$ et on fait l'hypothèse que $T$ suit une loi uniforme sur $[0,\pi]$.
    1. Calculer la longueur $L_2$ de la corde en fonction de $T$
    2. En déduire l'espérance de $L_2$.
  3. {\bf Conclusion.} A la lumière de ces deux méthodes, quel commentaire peut-on faire concernant l'espérance de la longueur d'une corde aléatoire ?
  4. {\bf Épilogue : une troisième méthode.}
    1. Montrer que pour tout réel $\ell\in[0,2]$, il existe une unique corde orthogonale à $[AB]$, dont une extrémité $M$ est sur le quart de cercle $\overset{\frown}{BD}$ et dont la longueur vaut $\ell$. Il en est de même si l'extrémité $M$ se situe sur le quart de cercle $\overset{\frown}{DA}$.
      On tire alors au hasard une corde orthogonale à $[AB]$ de la façon suivante : on lance d'abord une pièce équilibrée. Si elle tombe sur pile, on décide que l'extrémité $M$ se situe sur le quart de cercle $\overset{\frown}{BD}$ et si elle tombe sur face, on décide que l'extrémité $M$ se situe sur le quart de cercle $\overset{\frown}{DA}$. Une fois cette décision prise, on positionne la corde en tirant au hasard sa longueur de façon uniforme sur l'intervalle $[0,2]$.
    2. Quelle est l'espérance de la longueur $L_3$ de la corde ainsi tirée au hasard ?
Indication
Corrigé