$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : exercices sur les séries

Pour réviser
Enoncé
Etudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{n}{n^3+1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{\sqrt n}{n^2+\sqrt n}&&\displaystyle \mathbf 3.\ \dis u_n=n\sin(1/n)\\ \displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)&& \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{\sqrt {n+1}-\sqrt{n}}{n}&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{(-1)^n +n}{n^2+1}\\ \displaystyle \mathbf 7.\ u_n=\frac{1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 8. \ u_n=\frac{\ln(n^n)}{n!}&& \displaystyle \mathbf 9.\ u_n=\ln\left(\frac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\right) \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Avec des paramètres - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur des paramètres, la convergence des séries suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ e^{\frac 1n}-a-\frac{b}{n},\ a,b\in\mathbb R && \displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt[3]{n^3+an}-\sqrt{n^2+3},\ a\in\mathbb R \end{array}$$
Corrigé
Exercice 3 - Une erreur classique... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que la série $\sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
  2. Démontrer que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+\frac{(-1)^n}{n\sqrt n}+o\left(\frac 1{n\sqrt n}\right)$.
  3. Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
  4. Qu'a-t-on voulu mettre en évidence dans cet exercice?
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que la série de terme général $$u_n=\frac{1}{\sqrt{n-1}}-\frac{2}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}$$ (pour $n\geq 2$) est convergente, et calculer sa somme.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\sum_n u_n$ une série à termes positifs.
  1. On suppose que $\sum_n u_n$ converge. Prouver que, pour tout $\alpha>1$, $\sum_n u_n^\alpha$ converge.
  2. On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. Prouver que, pour tout $\alpha\in]0,1[$, $\sum_n u_n^\alpha$ diverge.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 6 - A partir d'une série géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in ]-1,1[$. Calculer $\displaystyle \sum_{k=0}^{+\infty}kx^k$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Une preuve du théorème des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer le théorème des séries alternées : si $(a_n)$ est une suite décroissante de réels positifs qui tend vers $0$, alors la suite $(S_n)$ définie pour $n\geq 0$ par $$S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$$ est convergente. On pose pour $n\geq0$, $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$.
  1. Démontrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes.
  2. En déduire que la suite $(S_n)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
  3. Justifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $v_n\leq \ell\leq u_n$.
  4. On suppose pour toute la suite de l'exercice que $a_n=\frac{1}{n+1}$. Donner un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieur ou égal à $10^{-6}$.
  5. Dans cette question, on va prouver que $\ell=\ln 2$.
    1. Pour $n\geq 1$ et $x\in[0,1]$, justifier l'égalité $$\frac{1}{1+x}=1-x+\dots+(-1)^n x^n+\frac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}.$$
    2. On pose, pour $n\geq 1$, $$I_n=\int_0^1 \frac{x^{n+1}}{1+x}dx.$$ Démontrer que $(I_n)$ tend vers 0.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on note $H_n=\sum_{k=1}^n \frac 1k$.
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\ln(n+1)\leq H_n\leq 1+\ln(n).$$
  2. En déduire un équivalent de $H_n$.
  3. On pose pour $n\geq 1$, $v_n=H_n-\ln(n+1)$. Vérifier que, pour $n\geq 2$, $v_{n}-v_{n-1}=\frac 1n-\ln\left(1+\frac 1n\right)$.
  4. Étudier la monotonie de $(v_n)$. En déduire que $(v_n)$ est convergente. On note $\gamma$ sa limite et on pose pour $n\geq 1$, $w_n=H_n-\ln(n+1)-\gamma$.
    1. Vérifier que, pour tout $x\geq 0$, $$\ln(1+x)=x-\int_0^x \frac{(x-t)}{(1+t)^2}dt.$$
    2. En déduire que, pour tout $x\geq 0$, $$\left|\ln(1+x)-x\right|\leq\frac{x^2}2.$$
  5. Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $$\left|w_n-w_{n-1}\right|\leq \frac{1}{2n^2}.$$
  6. Soit $M>N\geq 1$. Démontrer que $$\sum_{k=N+1}^M \frac1{k^2}\leq \frac1{N}.$$
  7. En déduire, sous les mêmes hypothèses, que $$|w_M-w_N|\leq \frac1{2N}$$ puis que $$|v_N-\gamma|\leq \frac{1}{2N}.$$
  8. Écrire un algorithme permettant de calculer une valeur approchée de $\gamma$ à $10^{-3}$ près.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Somme de la série des inverses des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$.
  1. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi f(t)\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)dt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$
  2. On pose $A_n(t)=\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kt).$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)t/2\right)}{2\sin(t/2)}.$$
  3. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi (at^2+bt)\cos(nt)dt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\pi(at^2+bt)A_n(t)=S_n-\frac{\pi^2}6.$$
  4. Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans l'exercice donné aux étudiants, on considère la suite $(S_n)$ définie par $$S_n=\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}.$$ On a prouvé que $(S_n)$ converge vers une limite $\ell$, et que, si on pose $u_n=S_{2n}$ et $v_n=S_{2n+1}$, alors pour tout entier $n$, on a $v_n\leq \ell\leq u_n$. Il est demandé aux étudiants d'écrire un algorithme donnant un encadrement de $\ell$ d'amplitude inférieur ou égal à $0.001$. Voici leurs réponses. Analysez-les.
Étudiant 1 :


n:=2
u:=5/6
v:=7/12
Tant que u-v>0.001 faire
  u=u-1/(2n)+1/(2n+1)
  v=u-1/(2n+2)
Fin Tant que
Retourner u et v.

Étudiant 2 :


a=1
c=1/2
n=0
b=a
d=c
tant que (a-c>0.001) faire
  n=n+1
  b=a
  a=b+(-1)/(2n+1)+1/(2n+2)
  d=c
  c=d+1/(2n+2)-1/(2n+3)
Afficher a et b

Étudiant 3 :


Entrées :  
u=1
v=1/2
n=0
Traitement :
Tant que (v-u>0.001)  
  n=n+1
  u=u+somme{k=0 à 2n}(-1)^k/(k+1)
  v=v+somme{k=0 à 2n+1}(-1)^k/(k+1)
Sortie : u,v

Étudiant 4 :


Variables : u,v,n,k
Initialisation :
u=1
v=1/2
k=0
n=0
Traitement :
Tant que (u-v>0.001) faire
  Pour k allant de 1 à 2n faire
     u=u+(-1)^k/k+1
  Pour k allant de 1 à 2n+1 faire
     v=v+(-1)^k/(k+1)
  n=n+1
Sortie : Afficher u,v

Étudiant 5 :


Variables : a,b,n,u,v
Initialisation :
u=1
v=1/2
a=1/2
b=1
Traitement
Tant que (a>0.001)  
  n=n+1
  a=1/(2n+2)
  b=1/(2n+1)
  u=v+b
  v=u-a
Sortie : u,v

Étudiant 6 :


s=0
t=0
Pour k=0 à 1000 faire
  s=s+(-1)^k/(k+1)
Fin Pour.
t=t+(-1)^(1001)/1002
Afficher s,t

Corrigé