$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : réduction des endomorphismes

Enoncé
  1. En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
  2. Si $A$ est diagonalisable, alors $A^2$ est diagonalisable.
  3. Si $A^2$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.
  4. Tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension impaire admet au moins une valeur propre.
  5. La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.
Corrigé
Pour réviser
Enoncé
Soit $E=\mathbb C^\mathbb N$ l'espace des suites à coefficients complexes, et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ qui à une suite $(u_n)$ associe la suite $(v_n)$ définie par $v_0=u_0$ et pour tout $n\geq 1$, $$v_n=\frac{u_n+u_{n-1}}2.$$ Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $\phi$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Diagonaliser les matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&2&-1\\ 3&-2&0\\ -2&2&1 \end{array}\right),\textrm{ } B=\left(\begin{array}{ccc} 0&3&2\\ -2&5&2\\ 2&-3&0 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 1&-1&2 \end{array}\right).$$ On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres.
Indication
Corrigé
Enoncé
Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n'est pas diagonalisable : $$A=\left(\begin{array}{ccc} \pi&1&2\\ 0&\pi&3\\ 0&0&\pi \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cc} -5&3\\ 6&-2 \end{array}\right).$ Montrer que $A$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. En déduire qu'il existe une matrice $B$ telle que $B^3=A$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Application à des suites récurrentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $\left(\begin{array}{ccc} -4&-6&0\\ 3&5&0\\ 3&6&5\end{array}\right)$.
  1. Diagonaliser $A$.
  2. Calculer $A^n$ en fonction de $n$.
  3. On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par leur premier terme $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&-4u_n-6v_n\\ v_{n+1}&=&3u_n+5v_n\\ w_{n+1}&=&3u_n+6v_n+5w_n \end{array} \right.$$ pour $n\geq 0$. On pose $X_n=\left( \begin{array}{c}u_n\\v_n\\w_n\end{array}\right)$. Exprimer $X_{n+1}$ en fonction de $A$ et $X_n$. En déduire $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 4&4&4&4 \end{array}\right)$.
  1. Déterminer, sans calculer le polynôme caractéristique, les valeurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable?
  2. Plus généralement, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de rang 1 soit diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Diagonalisation par polynôme minimal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ la matrice $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&0 \end{array}\right).$$
  1. Calculer $U^2$ et en déduire une relation simple liant $U^2$, $U$ et $I_4$.
  2. En déduire que $U$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
  3. Diagonaliser $U$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Sous-espaces stables et endomorphismes qui commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel et $u,v$ deux endomorphismes de $E$.
  1. Démontrer que si $u\circ v=v\circ u$, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$. La réciproque est-elle vraie?
  2. On suppose désormais que $u$ est un projecteur. Démontrer que $u\circ v=v\circ u$ si et seulement si $\ker(u)$ et $\textrm{Im}(u)$ sont stables par $v$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Diagonalisation simultanée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie.
  1. Soient $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables tels que $u\circ v=v\circ u$. Démontrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont simultanément diagonalisables.
  2. Plus généralement, soit $u_1,\dots,u_m$ une famille d'endomorphismes diagonalisables de $E$ commutant deux à deux, $m\geq 1$. Montrer qu'il existe une base de $E$ diagonalisant tous les $u_i$.
Indication
Corrigé