$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : polynômes

Pour réviser
Enoncé
Soient $a,b$ des réels, et $P(X)=X^4+2aX^3+bX^2+2X+1$. Pour quelles valeurs de $a$ et $b$ le polynôme $P$ est-il le carré d'un polynôme de $\mathbb R[X]$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P\in \mathbb K[X]$, soit $a\in\mathbb K$ et soit $R$ le reste de la division euclidienne de $P$ par $(X-a)^2$. Exprimer $R$ en fonction de $P(a)$ et de $P'(a)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Quel est, pour $n\geq 1$, l'ordre de multiplicité de $2$ comme racine du polynôme $$P_n(X)=nX^{n+2}-(4n+1)X^{n+1}+4(n+1)X^n-4X^{n-1}?$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Racine complexe d'un polynôme réel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$.
  1. Soit $\alpha$ une racine de $P$. Démontrer que $\bar\alpha$ est aussi une racine de $P$.
  2. Comparer l'ordre de multiplicité de $\bar\alpha$ et de $\alpha$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Décomposer le polynôme suivant en produit d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ : $$P(X)=2X^4+X^2-3.$$
Indication
Corrigé
Pour progresser
Enoncé
Soit $P(X)=a_nX^n+\dots+a_0$ un polynômes à coefficients dans $\mathbb Z$, avec $a_n\neq 0$ et $a_0\neq 0$. On suppose que $P$ admet une racine rationnelle $p/q$ avec $p\wedge q=1$. Démontrer que $p|a_0$ et que $q|a_n$. Le polynôme $P(X)=X^5-X^2+1$ admet-il des racines dans $\mathbb Q$?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Détermination d'un ensemble de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de déterminer $$E=\{P\in \mathbb R[X];\ P(X^2)=(X^3+1)P(X)\}.$$
  1. Démontrer que le polynôme nul ainsi que le polynôme $X^3-1$ sont solutions du problème.
  2. Analyse du problème. Soit $P\in E$ non nul.
    1. Montrer que $P$ est de degré 3.
    2. Démontrer que $P(1)=0$, puis que $P'(0)=P''(0)=0$ (on pourra penser à dériver la relation $P(X^2)=(X^3+1)P(X)$).
    3. En effectuant la division euclidienne de $P$ par $X^3-1$, démontrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $P(X)=\lambda (X^3-1)$.
  3. Synthèse du problème : en déduire l'ensemble $E$.
Corrigé
Enoncé
Quel est le reste de la division euclidienne de $(X+1)^n-X^n-1$ par $$ \mathbf{1.}\ X^2-3X+2\quad\quad\mathbf{2.}\ X^2+X+1\quad\quad\mathbf{3.}\ X^2-2X+1? $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$ les polynômes suivants : $$\begin{array}{lllll}\mathbf{1.}\ \ X^4+1&\quad&\mathbf{2.}\ X^8-1&\quad&\mathbf{3.}\ (X^2-X+1)^2+1 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P$ un polynôme de $\mathbb C_n[X]$. Soient $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ les racines de $P$, d'images respectives dans le plan complexe $A_1,\dots,A_n$. Soient $\beta_1,\dots,\beta_{n-1}$ les racines de $P'$, d'images respectives dans le plan complexe $B_1,\dots,B_{n-1}$.
  1. Montrer que les familles de points $(A_1,\dots,A_n)$ et $(B_1,\dots,B_{n-1})$ ont même isobarycentre.
  2. Quelle est l'image dans la plan complexe de la racine de $P^{(n-1)}$?
Indication
Corrigé