Capes : exercices sur les matrices et les déterminants
Pour réviser
Enoncé 
Déterminer, suivant la valeur du réel $a$, le rang de la matrice suivante :
$$A=\left(
\begin{array}{cccc}
1&a&a^2&a^3\\
a&a^2&a^3&1\\
a^2&a^3&1&a\\
a^3&1&a&a^2
\end{array}\right).$$
Enoncé
Soient $u:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3$ et $v:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^2$ définies par $u(x,y)=(x+2y,2x-y,2x+3y)$ et $v(x,y,z)=(x-2y+z,2x+y-3z)$.
- Montrer que $u$ et $v$ sont linéaires et donner les matrices de $u,v,u\circ v$ et $v\circ u$ dans les bases canoniques de leurs espaces de définition respectifs. En déduire les expressions de $u\circ v(x,y,z)$ et $v\circ u(x,y)$.
- Soit $\mathcal{B}_2=\{\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2\}$ et $\mathcal{B}_3=\{\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\mathcal{F}_3\}$ les bases canoniques de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$. Montrer que $\mathcal{B}^\prime_2:=\{\mathcal{E}^\prime_1,\mathcal{E}^\prime_2\}$ et $\mathcal{B}^\prime_3:=\{\mathcal{F}^\prime_1,\mathcal{F}^\prime_2,\mathcal{F}^\prime_3\}$ sont des bases de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$ resp., où $\mathcal{E}^\prime_1:=\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}^\prime_2:=\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2$, $\mathcal{F}^\prime_1:=\mathcal{F}_1$, $\mathcal{F}^\prime_2:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2$ et $\mathcal{F}^\prime_3:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2 + \mathcal{F}_3$.
- Donner la matrice $P$ de passage de la base $\mathcal{B}_2$ à la base $\mathcal{B}^\prime_2$ puis la matrice $Q$ de passage de la base $\mathcal{B}_3$ à la base $\mathcal{B}^\prime_3$.
- Écrire la matrice de $u$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}_3$ puis dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}^\prime_3$ et enfin celle de $v$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_3$ et $\mathcal{B}^\prime_2$.
Enoncé
Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que $a_0=1$, $b_0=2$, $c_0=7$, et vérifiant les relations de récurrence :
$$
\left\{
\begin{array}{rcccc}
a_{n+1}&=&3a_n+&b_n&\\
b_{n+1}&=&&3b_n+&c_n\\
c_{n+1}&=&&&3c_n
\end{array}
\right.$$
On souhaite exprimer $a_n$, $b_n$, et $c_n$ uniquement en fonction de $n$.
- On considère le vecteur colonne $X_n=\left(\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\end{array}\right)$. Trouver une matrice $A$ telle que $X_{n+1}=AX_n$. En déduire que $X_n=A^n X_0$.
- Soit $N=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)$. Calculer $N^2$, $N^3$, puis $N^p$ pour $p\geq 3$.
- Montrer que : $$A^n=3^{n}I+3^{n-1}nN+3^{n-2}\frac{n(n-1)}{2}N^2.$$
- En déduire $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
Enoncé
Montrer que $D=\left|
\begin{array}{ccc}
1+a & a & a \\
b & 1+b & b \\
c & c & 1+c
\end{array}
\right| =1+a+b+c$ sans le développer.
Exercice 5 
- Puissance $k$-ième sans division euclidienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
- Puissance $k$-ième sans division euclidienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé
Soit $U$ la matrice $$U=\left(\begin{array}{cccc}
0&1&1&1\\
1&0&1&1\\
1&1&0&1\\
1&1&1&0
\end{array}\right).$$
- Calculer $U^2$ et en déduire une relation simple liant $U^2$, $U$ et $I_4$.
- Soit $(\alpha_k)$ et $(\beta_k)$ les suites définies par $\alpha_0=1$, $\beta_0=0$, $\alpha_{k+1}=3\beta_k$, $\beta_{k+1}=\alpha_k+2\beta_k$. Démontrer que, pour tout $k\in\mathbb N$, on a $$U^k=\left( \begin{array}{cccc} \alpha_k&\beta_k&\beta_k&\beta_k\\ \beta_k&\alpha_k&\beta_k&\beta_k\\ \beta_k&\beta_k&\alpha_k&\beta_k\\ \beta_k&\beta_k&\beta_k&\alpha_k \end{array}\right).$$
- Démontrer que, pour tout $k\in\mathbb N$, on a $\beta_{k+2}=2\beta_{k+1}+3\beta_k$.
- En déduire que, pour tout $k\in\mathbb N$, $\beta_k=\frac{3^k-(-1)^k}{4}$ et $\alpha_k=\frac{3^k+3(-1)^k}{4}$.
Enoncé
Pour $\alpha\in\mathbb R$, on considère
$$M_\alpha=\left(\begin{array}{ccc}
1&3&\alpha\\
2&-1&1\\
-1&1&0
\end{array}
\right).$$
Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles l'application linéaire associée à $M_\alpha$
est bijective.
Pour progresser
Exercice 7 - Puissance $n$-ième - avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
- Puissance $n$-ième - avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé
- Pour $n\geq 2$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.
- Soit $A=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -1&2&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$. Déduire de la question précédente la valeur de $A^n$, pour $n\geq 2$.
Enoncé
Soit $\Delta_n$ le déterminant de taille $n$ suivant :
$$\Delta_n=\left|
\begin{array}{ccccc}
3&1&0&\dots&0\\
2&3&1&\ddots&\vdots\\
0&2&3&\ddots&0\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\
0&\dots&0&2&3
\end{array}\right|.$$
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, on a $\Delta_{n+2}=3\Delta_{n+1}-2\Delta_n$.
- En déduire la valeur de $\Delta_n$ pour tout $n\geq 1$.
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ $n$ nombres complexes distincts.
On se propose de calculer le déterminant suivant :
$$
V(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=\left|
\begin{array}{ccccc}
1&1&\dots&\dots&1\\
\alpha_1&\alpha_2&\dots&\dots&\alpha_n\\
\alpha_1^2&\alpha_2^2&\dots&\dots&\alpha_n^2\\
\vdots&\vdots&&&\vdots\\
\alpha_1^{n-1}&\alpha_2^{n-1}&\dots&\dots&\alpha_n^{n-1}
\end{array}\right|.$$
- Calculer $V(\alpha_1,\alpha_2)$ et $V(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$. On les donnera sous forme factorisée.
- Démontrer que $V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1},x)$ est une fonction polynômiale de $x$ dont on précisera le degré.
- En déduire que $V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1},x)=V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(x-\alpha_i)$.
- En déduire l'expression générale de $V(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$.
Exercice 10 - Calcul à l'aide d'une fonction affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
- Calcul à l'aide d'une fonction affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]Enoncé
Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\mathbb R)$. On note $A(x)$ la matrice dont le terme général est $a_{i,j}+x$.
- Montrer que la fonction $x\mapsto \det(A(x))$ est une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à 1.
- Pour $a$ et $b$ deux réels distincts et $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb R$, en déduire la valeur du déterminant suivant $$\left| \begin{array}{cccc} \alpha_1&a&\dots&a\\ b&\alpha_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a\\ b&\dots&b&\alpha_n \end{array}\right|.$$