$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Capes : exercices de logique, applications et relations

Pour réviser
Exercice 1 - Trouver des conditions nécessaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver des conditions nécessaires (pas forcément suffisantes) à chacune des propositions suivantes :
  1. Avoir son bac.
  2. Le point $A$ appartient au segment $[BC]$.
  3. Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
Corrigé
Exercice 2 - Condition nécessaire, suffisante, pour avoir un rectangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la proposition $P$ : "Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle" et les propositions
  1. $Q1$ : "Les diagonales de $ABCD$ ont même longueur"
  2. $Q2$ : "$ABCD$ est un carré"
  3. $Q3$ : "$ABCD$ est un parallélogramme ayant un angle droit"
  4. $Q4$ : "Les diagonales de $ABCD$ sont médiatrices l'une de l'autre"
  5. $Q5$ : "Les diagonales de $ABCD$ ont même milieu".
Dire si chacune des propositions $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$, $Q_5$ est pour $P$ une condition nécessaire non suffisante, une condition suffisante non nécessaire, une condition nécessaire et suffisante, ou ni l'un ni l'autre.
Corrigé
Exercice 3 - Nier des assertions avec quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Nier les assertions suivantes :
  1. $\forall x\in \mathbb R,\ f(x)\neq 0$.
  2. $\forall M>0,\ \exists A>0,\ \forall x\geq A,\ f(x)>M$.
  3. $\forall x\in \mathbb R,\ f(x)>0\implies x\leq 0$.
  4. $\forall \veps>0,\ \exists \eta>0, \forall (x,y)\in I^2,\ \big(|x-y|\leq \eta\implies |f(x)-f(y)|\leq\veps\big).$
Corrigé
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $|x-1|\leq x^2-x+1$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Somme de tous les termes précédents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\geq 0$, $u_{n+1}=u_0+u_1+\dots+u_n$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n=2^{n-1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Exemples d'image directe et d'image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$, $x\mapsto x^2$, et soit $A=[-1,4]$. Déterminer
    1. l'image directe de $A$ par $f$;
    2. l'image réciproque de $A$ par $f$.
  2. On considère la fonction $\sin:\mathbb R\to \mathbb R$. Quelle est l'image directe, par $\sin$, de $\mathbb R$? De $[0,2\pi]$? de $[0,\pi/2]$? Quelle est l'image réciproque, par $\sin$, de $[0,1]$? de $[3,4]$? de $[1,2]$?
Corrigé
Pour progresser
Exercice 7 - Du texte aux quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes :
  1. $f$ est constante;
  2. $f$ n'est pas constante;
  3. $f$ s'annule;
  4. $f$ est périodique.
Corrigé
Exercice 8 - Analyser une récurrence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$. On souhaite démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n\geq n$. Voici les réponses de trois élèves à cette question. Analysez ces productions d'élèves, en mettant en évidence les compétences acquises et les difficultés restantes.
Élève 1 : Montrons par récurrence que, $\forall n\in\mathbb N, u_n\geq n$.
  • Initialisation : $u_0\geq 0$ donc $\mathcal P_0$ est vraie.
  • Hérédité : on suppose $\mathcal P_k$ vraie, c'est-à-dire $u_k\geq k$. Alors $$u_{k+1}\geq k\iff 3u_k-2k+3\geq k\iff 3u_k+3\geq 3k\iff u_k\geq k.$$
  • Bilan : $\mathcal P_0$ est vraie et, pour tout $k$, $\mathcal P_k\implies \mathcal P_{k+1}$. Donc $\mathcal P_n$ est vraie pour tout $n$.
Élève 2 :
  • Initialisation : la propriété est vraie au rang 0.
  • Hérédité : on suppose que $\mathcal P_n$, la propriété $u_n\geq n$ est vraie pour tout $n$. On étudie $\mathcal P_{n+1}$ : $$u_{n+1}=3u_n-2n+3=3(u_n+1)-2n.$$ Or $u_n\geq n$ donc $u_{n}+1>n$ donc $3(u_n+1)>3n$ et $3(u_n+1)-2n>n\iff u_{n+1}>n.$ $u_{n+1}$ est strictement supérieur à $n$ donc $u_{n+1}\geq n+1$. La propriété est vraie au rang $n+1$.
  • La propriété est donc héréditaire. De plus, elle est initialisée au rang $0$ donc $\mathcal P_n$ est vraie pour tout $n$.
Élève 3 : Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\geq n$.
  • Initialisation : $u_0=0\geq 0$, donc la propriété est vraie au rang 0.
  • On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que la propriété est vraie. Alors $$u_{n+1}=3u_n-2n+3\geq 3n-2n+1=n+1.$$ Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier $n$.
Corrigé
Exercice 9 - Équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et telles que, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$, $$f(x+y)=f(x)+f(y).$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Image directe de l'image réciproque...et vice-versa! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f:E\to F$. Démontrer que
  1. $\forall A \in {\mathcal{P}}(E),A \subset f^{ - 1} (f(A))$;
  2. $\forall B \in {\mathcal{P}}(F),f(f^{ - 1} (B)) \subset B$.
  3. Question subsidiaire (plus difficile) : a-t-on égalité en général?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Avec des nombres complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que l'application $$ \begin{array}{rcl} f:\mathbb C\backslash \{-3\}&\to&\mathbb C\backslash \{i\}\\ z&\mapsto&\frac{iz-i}{z+3} \end{array}$$ est une bijection. Déterminer sa bijection réciproque.
Indication
Corrigé