$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : Transformée de Laplace

Exercice 1 - Abscisse de convergence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer l'abscisse de convergence de la transformée de Laplace des fonction suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ e^{2t}\cos(\omega t),\ \omega\in\mathbb R&\quad&\mathbf 2.\ t^ne^{-3t},\ n\geq 0\\ \mathbf 3.\ \cosh(at),\ a>0 \end{array} $$
Corrigé
Exercice 2 - A partir de la fonction échelon-unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Tracer le graphe et calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \mathcal U(t-1)-\mathcal U(t-2)&\quad&\mathbf 2. \mathcal U(t-2)(t-2)^2\\ \mathbf 3.\ \sum_{n=0}^{+\infty}\big(\mathcal U(t-2n)-\mathcal U(t-(2n+1))\big). \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ (2t^2-1)\mathcal U(t)&\quad&\mathbf 2.\ \left(e^t-\cos\left(\frac 23t\right)e^{2t}\right)\mathcal U(t)\\ \mathbf 3.\ te^{4t}\mathcal U(t)&\quad&\mathbf 4.\ \cos^3(t)e^t\mathcal U(t). \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Application de la formule de dérivation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $$f(t)=(1-\cos t)\mathcal U(t),\ g(t)=e^{-t}f(t).$$
  1. Montrer que $\mathcal L(f)(p)=\frac{1}{p(p^2+1)}$.
  2. En déduire que $$\mathcal L\left(e^t g''\right)(p)=\frac{(p-1)^2}{p(p^2+1)}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $a>0$. Déterminer la transformée de Laplace de $t\mapsto t\mathcal U(t-a)$.
  2. On considère le signal suivant :
    Calculer, à partir de la définition, sa transformée de Laplace.
  3. Décomposer le signal en une combinaison linéaire de signaux élémentaires. Retrouver alors le résultat en utilisant le formulaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Retrouver l'original des transformée de Laplace suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \frac1{(p+1)(p-2)}&\quad&\mathbf 2.\ \frac{-1}{(p-2)^2}\\ \mathbf 3.\ \frac{5p+10}{p^2+3p-4}&\quad&\mathbf 4.\ \frac{p-7}{p^2-14p+50}\\ \mathbf 5.\ \frac{p}{p^2-6p+13}&\quad&\mathbf 6.\ \frac{e^{-2p}}{p+3} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Équations différentielles et transformée de Laplace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose d'utiliser la transformée de Laplace pour résoudre des équations différentielles.
  1. On considère l'équation différentielle $$y'+y=e^t\mathcal U(t),\ y(0)=1.$$ Soit $y$ une fonction causale solution de l'équation dont on suppose qu'elle admet une transformée de Laplace $F$. Démontrer que $F$ satisfait l'équation $$F(p)=\frac{p}{(p-1)(p+1)}.$$ En déduire $y$.
  2. Sur le même modèle, résoudre l'équation différentielle $$y''-3y'+2y=e^{3t}\mathcal U(t),\ y(0)=1,\ y'(0)=0.$$
  3. Sur le même modèle, résoudre le système différentiel $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&-x+y+\mathcal U(t)e^t,\ x(0)=1\\ y'&=&x-y+\mathcal U(t)e^t,\ y(0)=1. \end{array} \right.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans un circuit comprenant en série un condensateur de capacité $C$ et une résistance $R$, la tension $v$ aux bornes du condensateur est donnée par $$RC v'(t)+v(t)=e(t)$$ où $e(t)$ est la tension d'excitation aux bornes du circuit. Supposons que $v(0)=0$. Notons $V=\mathcal L(v)$ et $E=\mathcal L(e)$.
  1. Établir la relation entre $V$ et $E$ sous forme $V(p)=T(p)E(p)$ avec une fonction $T$ que l'on déterminera. La fonction $T$ est appelée fonction de transfert.
  2. En déduire la réponse du système, c'est-à-dire la tension $v(t)$, aux excitations suivantes :
    1. un échelon de tension, $e(t)=\mathcal U(t)$;
    2. un créneau $e(t)=H(t)-H(t-t_0)$.
    Tracer les graphes correspondants.
Indication
Corrigé