Capes : Transformée de Laplace

Exercice 1

- Abscisse de convergence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer l'abscisse de convergence de la transformée de Laplace des fonction suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ e^{2t}\cos(\omega t),\ \omega\in\mathbb R&\quad&\mathbf 2.\ t^ne^{-3t},\ n\geq 0\\ \mathbf 3.\ \cosh(at),\ a\in\mathbb R \end{array} $$

Indication

Corrigé

Exercice 2

- A partir de la fonction échelon-unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Tracer le graphe et calculer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \mathcal U(t-1)-\mathcal U(t-2)&\quad&\mathbf 2. \mathcal U(t-2)(t-2)^2\\ \mathbf 3.\ \sum_{n=0}^{+\infty}\big(\mathcal U(t-2n)-\mathcal U(t-(2n+1))\big). \end{array} $$

Indication

Corrigé

Exercice 3

- Calculs directs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Déterminer la transformée de Laplace des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ (2t^2-1)\mathcal U(t)&\quad&\mathbf 2.\ \left(e^t-\cos\left(\frac 23t\right)e^{2t}\right)\mathcal U(t)\\ \mathbf 3.\ te^{4t}\mathcal U(t)&\quad&\mathbf 4.\ \cos^3(t)e^t\mathcal U(t). \end{array} $$

Indication

Corrigé

Exercice 4

- Application de la formule de dérivation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On pose $$f(t)=(1-\cos t)\mathcal U(t),\ g(t)=e^{-t}f(t).$$

Montrer que $\mathcal L(f)(p)=\frac{1}{p(p^2+1)}$.
En déduire que $$\mathcal L\left(e^t g''\right)(p)=\frac{(p-1)^2}{p(p^2+1)}.$$

Indication

Corrigé

Exercice 5

- Une rampe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Soit $a>0$. Déterminer la transformée de Laplace de $t\mapsto t\mathcal U(t-a)$.
On considère le signal suivant :
Calculer, à partir de la définition, sa transformée de Laplace.
Décomposer le signal en une combinaison linéaire de signaux élémentaires. Retrouver alors le résultat en utilisant le formulaire.

Indication

Corrigé

Exercice 6

- Recherche d'original [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Retrouver l'original des transformée de Laplace suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \frac1{(p+1)(p-2)}&\quad&\mathbf 2.\ \frac{-1}{(p-2)^2}\\ \mathbf 3.\ \frac{5p+10}{p^2+3p-4}&\quad&\mathbf 4.\ \frac{p-7}{p^2-14p+50}\\ \mathbf 5.\ \frac{p}{p^2-6p+13}&\quad&\mathbf 6.\ \frac{e^{-2p}}{p+3} \end{array}$$

Indication

Corrigé

On décompose la fraction en éléments simples, ie on cherche $a$ et $b$ tels que $$\frac{1}{(p+1)(p-2)}=\frac a{p+1}+\frac b{p-2}.$$ On trouve $a=-1/3$ et $b=1/3$. Il vient que l'original recherché est $$\frac {-1}3 e^{-t}\mathcal U(t)+\frac 13e^{2t}\mathcal U(t).$$
Posons $G(p)=\frac 1{p-2}$ et $F(p)=\frac{-1}{(p-2)^2}.$ Alors $G'(p)=F(p)$. Or, l'original de $G$ est la fonction $e^{2t}\mathcal U(t)$. Donc, par la formule de multiplication par $t$, on en déduit que l'original de $F$ est la fonction $-te^{2t}\mathcal U(t)$.
Le dénominateur se factorise en $(p+4)(p-1)$. On décompose la fraction en éléments simples en l'écrivant sous la forme $$\frac a{p+4}+\frac b{p-1}=\frac{(a+b)p+(4b-a)}{p^2-3p+4}.$$ Par identification, on a le système $$\left\{ \begin{array}{rcl} a+b&=&5\\ -a+4b&=&10\\ \end{array}\right.$$ qui donne facilement $a=2$ et $b=3$. Ainsi, la fonction est $$\frac 2{p+4}+\frac 3{p-1}.$$ L'original recherché est la fonction $$2e^{-4t}\mathcal U(t)+3e^t\mathcal U(t).$$
Le discriminant du trinôme du second degré au dénominateur est négatif, donc il n'admet pas de racines. On le met sous forme canonique en écrivant $$\frac{p-7}{p^2-14p+50}=\frac{p-7}{(p-7)^2+1}.$$ L'original de la fonction $\frac{p}{p^2+1}$ est la fonction $\cos t\mathcal U(t)$. Tenant compte de la formule de multiplication par $e^{at}$, l'original recherché est $$\cos te^{7t}\mathcal U(t).$$
Le discriminant du trinôme du second degré au dénominateur est négatif, donc il n'admet pas de racines. On le met sous forme canonique en écrivant \begin{eqnarray*} \frac{p}{p^2-6p+13}&=&\frac{p}{(p-3)^2+4}\\ &=&\frac{p-3}{(p-3)^2+2^2}+\frac{3}{(p-3)^2+2^2}\\ &=&\frac{p-3}{(p-3)^2+2^2}+\frac{3}2\times\frac 2{(p-3)^2+2^2}. \end{eqnarray*} En raisonnant comme à la question précédente, on trouve que l'original recherché est la fonction $$\cos(2t)e^{3t}\mathcal U(t)+\frac 32\sin(2t)e^{3t}\mathcal U(t).$$
L'original de $\frac 1{p+3}$ est la fonction $e^{-3t}\mathcal U(t)$. Pour trouver l'original de la fonction $\frac{e^{-2p}}{p+3}$, on utilise le théorème du retard et on trouve que l'original est $$e^{-3(t-2)}\mathcal U(t-2).$$

Exercice 7

- Équations différentielles et transformée de Laplace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

On se propose d'utiliser la transformée de Laplace pour résoudre des équations différentielles.

On considère l'équation différentielle $$y'+y=e^t\mathcal U(t),\ y(0)=1.$$ Soit $y$ une fonction causale solution de l'équation dont on suppose qu'elle admet une transformée de Laplace $F$. Démontrer que $F$ satisfait l'équation $$F(p)=\frac{p}{(p-1)(p+1)}.$$ En déduire $y$.
Sur le même modèle, résoudre l'équation différentielle $$y''-3y'+2y=e^{3t}\mathcal U(t),\ y(0)=1,\ y'(0)=0.$$
Sur le même modèle, résoudre le système différentiel $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&-x+y+\mathcal U(t)e^t,\ x(0)=1\\ y'&=&x-y+\mathcal U(t)e^t,\ y(0)=1. \end{array} \right.$$

Indication

Corrigé

La transformée de Laplace de $y'$ est $$\mathcal L(y')(p)=pF(p)-y(0)=pF(p)-1.$$ Si on applique la transformée de Laplace à l'équation $$y'+y=e^t\mathcal U(t),$$ on trouve $$pF(p)-1+F(p)=\frac{1}{p-1}$$ ce qui donne $$(p+1)F(p)=\frac1{p-1}+1=\frac p{p-1}$$ ou encore $$F(p)=\frac{p}{(p-1)(p+1)}.$$ On va calculer la transformée de Laplace inverse de cette fonction et pour cela on la décompose en éléments simples. On trouve que $$F(p)=\frac{1/2}{p-1}+\frac{1/2}{p+1}.$$ On en déduit que $y(t)=\frac12 e^t\mathcal U(t)+\frac12e^{-t}\mathcal U(t).$ On vérifie ensuite que c'est bien une solution (la solution!) de l'équation.
On admet encore une fois que $y$ possède une transformée de Laplace $F$. On a cette fois $$\mathcal L(y')(p)=pF(p)-1\textrm{ et }\mathcal L(y'')(p)=p(pF(p)-1)-0=p^2 F(p)-p.$$ Appliquant la transformée de Laplace à l'équation, on trouve $$(p^2-3p+2)F(p)=\frac{1}{p-3}+(p-3)=\frac{p^2-6p+10}{p-3}.$$ Mais $p^2-3p+2$ se factorise en $(p-1)(p-2)$ et on trouve $$F(p)=\frac{p^2-6p+10}{(p-1)(p-2)(p-3)}.$$ On décompose encore une fois en éléments simples, et on trouve que $$F(p)=\frac{5/2}{p-1}-\frac2{p-2}+\frac{1/2}{p-3}.$$ On inverse la transformée de Laplace, et on trouve que $$y(t)=\frac 52e^t\mathcal U(t)-2e^{2t}\mathcal U(t)+\frac 12e^{3t}\mathcal U(t),$$ qui est bien une solution (la solution!) de l'équation.
On admet cette fois que $x$ et $y$ possèdent une transformée de Laplace que l'on note respectivement $F$ et $G$. On a alors $$\mathcal L(x')(p)=pF(p)-1\textrm{ et }\mathcal L(y')(p)=pG(p)-1.$$ Si on applique la transformée de Laplace au système différentiel, on obtient le système linéaire $$\left\{ \begin{array}{rcl} pF(p)-1&=&-F(p)+G(p)+\frac 1{p-1}\\ pG(p)-1&=&F(p)-G(p)+\frac1{p-1}. \end{array} \right.$$ On va résoudre ce système pour calculer $F(p)$ et $G(p)$. Il est équivalent à $$\left\{ \begin{array}{rcl} (p+1)F(p)-G(p)&=&\frac 1{p-1}+1=\frac p{p-1}\\ -F(p)+(p+1)G(p)&=&\frac1{p-1}+1=\frac p{p-1}. \end{array} \right.$$ En faisant la différence des deux équations, on trouve que $F=G$, puis que $$F(p)=G(p)=\frac{1}{p-1}.$$ On en déduit, en inversant la transformée de Laplace, que $x(t)=y(t)=e^t\mathcal U(t),$ et on vérifie facilement qu'il s'agit d'une (de la) solution du système différentiel!

Exercice 8

- Circuit RC [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé

Dans un circuit comprenant en série un condensateur de capacité $C$ et une résistance $R$, la tension $v$ aux bornes du condensateur est donnée par $$RC v'(t)+v(t)=e(t)$$ où $e(t)$ est la tension d'excitation aux bornes du circuit. Supposons que $v(0)=0$. Notons $V=\mathcal L(v)$ et $E=\mathcal L(e)$.

Établir la relation entre $V$ et $E$ sous forme $V(p)=T(p)E(p)$ avec une fonction $T$ que l'on déterminera. La fonction $T$ est appelée fonction de transfert.
En déduire la réponse du système, c'est-à-dire la tension $v(t)$, aux excitations suivantes :
1. un échelon de tension, $e(t)=\mathcal U(t)$;
2. un créneau $e(t)=H(t)-H(t-t_0)$.
Tracer les graphes correspondants.

Indication

Corrigé