$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : exercices sur les intégrales impropres

Pour réviser
Exercice 1 - Convergence d'intégrales impropres - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les intégrales impropres suivantes sont-elles convergentes? $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^1 \ln tdt&&\displaystyle \mathbf 2.\ \int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \int_0^{+\infty}x(\sin x)e^{-x}dx&&\displaystyle \mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}(\ln t)e^{-t}dt\\ \displaystyle \mathbf 5.\ \int_0^1 \frac{dt}{(1-t)\sqrt t} \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Convergence d'intégrales impropres - avec paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur du paramètre $\alpha\in\mathbb R$, la convergence des intégrales impropres suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ \int_0^{+\infty}\frac{dt}{t^\alpha}&&\displaystyle \mathbf2.\ \int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}-1}{t^\alpha}dt\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \int_0^{+\infty}\frac{t-\sin t}{t^\alpha}dt&& \displaystyle \mathbf 4.\ \int_0^{+\infty}\frac{\arctan t}{t^\alpha}dt \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Logarithme à la puissance n [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Après en avoir justifié l'existence, calculer par récurrence la valeur de $I_n=\int_0^1 (\ln x)^ndx.$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Pour quelles valeurs de $a\in\mathbb R$ l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}e^{-ax}dx$ est-elle convergente?
  2. Pour quelles valeurs de $a\in\mathbb R$ l'intégrale impropre $\int_0^{+\infty}e^{-ax}\arctan xdx$ est-elle convergente? On note $\mathcal D$ cet ensemble de valeurs et pour $a\in\mathcal D$, on note $I(a)$ la valeur de l'intégrale impropre.
  3. Soit $a\in\mathcal D$. Démontrer que $\displaystyle I(a)=\frac1{a^2}-\frac{2}{a^2}\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-ax}}{(1+x^2)^2}dx$.
  4. Démontrer que la fonction $\displaystyle x\mapsto \frac{x}{(1+x^2)^2}$ est bornée sur $\mathbb R_+$.
  5. En déduire que $\displaystyle \lim_{a\to+\infty}\int_0^{+\infty}\frac{xe^{-ax}}{(1+x^2)^2}dx=0$.
  6. Déterminer un équivalent simple de $I(a)$ lorsque $a$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Convergence et logarithme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer la convergence de l'intégrale $\int_0^1 \frac{\ln x}{x^{3/4}}dx$. On pourra comparer avec $\frac 1{x^\alpha}$ pour $\alpha$ bien choisi.
  2. Donner un équivalent simple au voisinage de $0$ de $\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)$. En déduire la convergence de $\int_0^1\frac{\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)}{x^{3/4}}dx$.
  3. Donner un équivalent simple au voisinage de $+\infty$ de $\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)$. En déduire la nature de $\int_1^{+\infty}\frac{\ln\left(x+\sqrt x\right)-\ln(x)}{x^{3/4}}dx$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 6 - Intégrales de Bertrand [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $\alpha,\beta\in\mathbb R$, on souhaite déterminer la nature de $$\int_e^{+\infty}\frac{dx}{x^\alpha(\ln x)^\beta}.$$
  1. On suppose $\alpha>1$. En comparant avec une intégrale de Riemann, démontrer que l'intégrale étudiée est convergente.
  2. On suppose $\alpha=1$. Calculer, pour $X>e$, $\int_e^X\frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$. En déduire les valeurs de $\beta$ pour lesquelles l'intégrale converge.
  3. On suppose $\alpha<1$. En comparant à $1/t$, démontrer que l'intégrale étudiée diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Avec le critère des séries alternées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to[0,+\infty[$ une fonction continue décroissante, de limite nulle en $+\infty$. On pose $u_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}f(t)\sin(t)dt$.
  1. Montrer que la série de terme général $u_n$ est convergente.
  2. En déduire que l'intégrale $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ est convergente. Quel est son signe?
  3. On suppose $f(x)\geq 1/x$ pour $x\geq x_0$. Prouver que $\int_0^{+\infty}f(t)\sin(t)dt$ n'est pas absolument convergente.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Différence d'exponentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $0<a<b$.
  1. Justifier la convergence de $\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt$.
  2. Soient $0<x<y$. Démontrer que $$\int_x^y \frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\int_{ax}^{bx}\frac{e^{-t}}tdt-\int_{ay}^{by}\frac{e^{-t}}tdt.$$
  3. Démontrer que, pour tout réel $z>0$, $$e^{-bz}\ln\frac ba\leq\int_{az}^{bz}\frac{e^{-t}}tdt\leq e^{-az}\ln\frac ba.$$ En déduire que $$\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}tdt=\ln\frac ba.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue décroissante telle que $\int_0^{+\infty} f(t)dt$ converge.
  1. Démontrer que $f\geq 0$.
  2. Démontrer que $f$ tend vers 0 en $+\infty$.
  3. Justifier que $\int_{x/2}^x f(t)dt$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
  4. En déduire que $xf(x)$ tend vers 0 lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Montrer que pour tout $x>0$, l'intégrale $\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt$ est convergente.
    On pose $F(x)=\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t}\,dt$ si $x>0$.
  2. Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et calculer $F'$.
  3. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to 0^+}F(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to +\infty}F(x)$.
  4. On cherche un équivalent de $F(x)$ lorsque $x\to 0^+$.
    1. Démontrer que la fonction $t\mapsto \frac{e^{-t}-1}{t}$ se prolonge par continuité en $0$.
    2. Démontrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in]0,1]$, $$\left|\int_x^1 \frac{e^{-t}-1}{t}dt\right|\leq C.$$
    3. En déduire que $F(x)\sim -\ln x$ lorsque $x\to 0^+$.
  5. On cherche un équivalent de $F(x)$ lorsque $x\to +\infty$.
    1. Montrer que pour tout $x>0$, l'int\'egrale $\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}\,dt$ est convergente.
    2. Montrer que pour tout $x>0$, $\displaystyle\int_x^{+\infty}\frac{e^{-t}}{t^2}\,dt \le \frac1xF(x)$.
    3. A l'aide d'une intégration par parties, en déduire que $F(x)\sim \frac{e^{-x}}{x}$ lorsque $x\to +\infty$.
Corrigé