$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : intégration

Pour réviser
Exercice 1 - Diverses versions du théorème fondamental [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans votre devoir de révision sur l'intégration de Terminale S, vous avez demandé à vos élèves d'énoncer le théorème fondamental du calcul intégral. Voici quelques-une de leurs réponses, analysez-les.
  1. Soit $f$ une fonction continue sur l'intervalle $[a,b]$. Alors $F:x\mapsto \int_a^b f(x)dx$ est dérivable sur $]a,b[$ et on a $F'(x)=f(x)$.
  2. Si $F$ est une fonction définie et de classe $C^1$ sur un segment $[a,b]$, alors, en notant sa dérivée $F'$ définie et continue sur $[a,b]$, $$\int_a^b F'(x)dx=F(b)-F(a).$$
  3. Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction continue, soit $a\in I$. Pour tout $x\in I$, il existe une fonction $F:I\to\mathbb R$ telle que $$F(x)=\int_a^x f(t)dt.$$ On dit que $F$ est une primitive de $f$.
  4. Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I=[a,b]$. Soit $x\in [a,b]$, on note la primitive $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ de $f$. Alors $F'(x)=f(x)$.
  5. Soit $f$ une fonction continue sur $I$ et soit $a\in I$. La fonction $F$ qui s'annule en $a$ est définie par pour tout $x\in I$, $F(x)=\int_a^x f(x)dx$. De plus, $F'(x)=f(x)$.
  6. Soit $(a,b)\in\mathbb R^2$ tel que $a<b$ et soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$. Alors il existe une fonction $F$ dérivable sur $[a,b]$ et de dérivée $f$. De plus on a $$\int_a^b f(t)dt=F(b)-F(a).$$
  7. Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors elle admet une primitive $F$ dérivable sur $[a,b]$ telle que $F'=f$.
Corrigé
Exercice 2 - Méthode des rectangles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'objectif de l'exercice est de donner un majorant de l'approximation faite sur l'intégrale d'une fonction de classe $C^1$ sur un segment par la méthode des rectangles.
  1. Question préliminaire : soit $g:[\alpha,\beta]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. Démontrer que $$\int_{\alpha}^\beta |g(t)-g(\alpha)|dt\leq \sup_{t\in [\alpha,\beta]}|g'(t)|\frac{(\beta-\alpha)^2}2.$$
  2. Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $C^1$. On note, pour $n\geq 1$, $$R_n(f)=\frac{b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)$$ $$M_1=\sup_{t\in [a,b]}|f'(t)|.$$ Vérifier que $$\int_a^b f(t)dt-R_n(f)=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{a+\frac{k(b-a)}n}^{a+\frac{(k+1)(b-a)}n}\left(f(t)-f\left(a+\frac{k(b-a)}n\right)\right)dt.$$
  3. En déduire que $$\left|\int_a^b f(t)dt-R_n(f)\right|\leq \frac{M_1(b-a)^2}{2n}.$$
  4. Application algorithmique. On considère $f(x)=e^{-x^2}$ sur $[a,b]=[0,1]$. Donner un majorant de $M_1$. En déduire un algorithme qui donne une valeur approchée de $\int_0^1 f(t)dt$ avec un écart inférieur à une valeur entrée par l'utilisateur.
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer la limite des suites suivantes :
  1. $\dis u_n=\frac 1n\left(\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)+\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)+\dots+\sin\left(\frac{n\pi}{n}\right)\right).$
  2. $\dis u_n=n\left(\frac{1}{(n+1)^2}+\dots+\frac{1}{(n+n)^2}\right).$
  3. $\dis u_n=\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\dots+\sqrt{n-1}}{n\sqrt{n}}.$
  4. $\dis u_n=\sqrt[n]{\left(1+\left(\frac{1}{n}\right)^2\right)\left(1+\left(\frac{2}{n}\right)^2\right)\dots\left(1+\left(\frac{n}{n}\right)^2\right)}$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Série harmonique alternée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 0$, on définit $$I_n=\int_0^1 \frac{x^n}{1+x}dx.$$
  1. Démontrer que la suite $(I_n)$ tend vers 0.
  2. Pour $n\geq 0$, calculer $I_n+I_{n+1}$.
  3. En déduire $\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=0}^n \frac{(-1)^k}{k+1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Quelques primitives à savoir calculer! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^2+4}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto\frac{1}{x^2+4x+5}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-x^2}&&\displaystyle \mathbf{4.}\quad x\mapsto e^x(2x^3+3x^2-x+1)\\ \displaystyle \mathbf{6.}\quad x\mapsto\sin^5(x)&&\displaystyle \mathbf{6.}\quad x\mapsto \arctan(x) \end{array}$$
Indication
Corrigé
Pour progresser
Enoncé
Calculer la limite de la suite $(u_n)$ dans les cas suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1. u_n=\int_0^1 x^n\ln(1+x)dx&\quad&\mathbf 2. u_n=\int_0^n \frac{dt}{1+e^{nt}}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Un équivalent de $\ln(n!)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
    1. Montrer que, pour tout $i\geq 2$, $$\int_{i-1}^i\ln t\,dt\leq\ln i\leq\int_i^{i+1}\ln t \,dt.$$
    2. Montrer que, pour tout entier $n\geq 1$, $$\int_1^n \ln t\,dt\leq \ln(n!)\leq \int_1^n\ln t \,dt+\ln n.$$
  1. Pour tout $x>0$, calculer $F(x)=\int_1^x \ln t\, dt.$
  2. En déduire que $\ln(n!)$ est équivalent à $n\ln(n)$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Le théorème suivant est un des classiques de l'écrit du capes :
Soient $a<b$ et $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue et positive. Alors $$\int_a^b f(t)dt=0\implies f=0.$$
  1. Démontrer ce théorème en procédant par contraposée et en utilisant des "epsilon" pour écrire la définition de la continuité.
  2. Démontrer ce théorème en utilisant la fonction $F(x)=\int_a^x f(t)dt.$
  3. Application 1 : Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $$\frac 1n>\int_n^{n+1}\frac{dt} t.$$
  4. Application 2 : On considère $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs réelles. Démontrer que $$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)dt$$ définit un produit scalaire sur $E$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $I_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n xdx$, pour $n\in\mtn$.
  1. Montrer que la suite $(I_n)$ est décroissante.
  2. Montrer que la suite $(I_n)$ est strictement décroissante.
  3. Soit $\veps\in]0,\pi/2[$.
    1. Montrer que $I_n\leq \frac{\pi}{2}\sin^n\left(\frac\pi 2-\veps\right)+\veps$.
    2. En déduire (proprement!) que $(I_n)$ converge vers 0.
    Dans la suite, on va chercher à déterminer un équivalent de $I_n$ au voisinage de $+\infty$.
  4. Etablir que, pour tout $n\in\mtn$, on a : $(n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n$.
  5. Montrer que $$I_{2p}=\frac{(2p)!}{2^{2p}(p!)^2}\frac{\pi}{2}\textrm{ et }I_{2p+1}=\frac{2^{2p}(p!)^2}{(2p+1)!}.$$
  6. Montrer que $(n+1)I_{n+1}I_n=\frac{\pi}{2}$.
  7. Montrer que $\dis \frac{n+1}{n+2}\leq \frac{I_{n+1}}{I_n}\leq 1$.
  8. Montrer que $\dis I_n\sim_{+\infty} \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Logarithme intégral au carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $I,J$ des intervalles de $\mathbb R$, soit $a\in I$, soit $h:I\to\mathbb R$ continue, $u,v:J\to I$ de classe $C^1$ et $$F(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}h(t)dt.$$ Exprimer $F$ en fonction de $f:x\mapsto \int_a^x h(t)dt$. En déduire que $F$ est $C^1$ et calculer sa dérivée.
  2. On considère la fonction $F$ définie sur $I=]1,+\infty[$ par $$F(x)=\int_x^{x^2}\frac{dt}{(\ln t)^2}.$$ Étudier le sens de variation de $F$ sur $I$.
  3. En utilisant la décroissance sur $I$ de la fonction $t\mapsto \frac1{(\ln t)^2}$, déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
  4. En utilisant l'inégalité $0<\ln t\leq t-1$ pour $t\in I$, déterminer $\lim_{x\to 1^+}F(x)$.
Indication
Corrigé