$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : exercices sur les fonctions usuelles

Pour réviser
Enoncé
Étudier la fonction $f:x\mapsto x^{-\ln x}$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Nombre de chiffres en base 10 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Quel est le nombre de chiffres en base 10 du nombre $2^{43112609}$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans l'exercice, il est demandé de démontrer que $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$ (sachant qu'on peut utiliser les propriétés de la fonction exponentielle). Voici les réponses de deux étudiants. Qu'en pensez-vous?
Étudiant 1 : Il faut montrer que, pour tout $M\in\mathbb R$, il existe $x\in\mathbb R_+$ tel que $\ln(x)\geq M$, c'est-à-dire $x\geq e^M$. Il en existe, et donc $\lim_{x\to+\infty}\ln(x)=+\infty$.
Étudiant 2 : On a $\ln(e^x)=x$. Ainsi, $\lim_{x\to+\infty}\ln(e^x)=\lim_{x\to+\infty}x=+\infty$. En posant $X=e^x$, on a $\lim_{X\to+\infty}\ln(X)=+\infty$.
Corrigé
Enoncé
Calculer $$\arccos \left(\cos\frac{2\pi}3\right),\quad \arccos\left(\cos\frac{-2\pi}{3}\right),\quad\arccos\left(\cos\frac{4\pi}{3}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, $\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac\pi2$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 6 - Irrationalité du logarithme décimal de $2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que $\log_{10}2$ est irrationnel.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Le logarithme n'est pas une fraction rationnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $f$ un polynôme de degré $n$, $f(x)=a_n x^n+\dots+a_1x+a_0$, avec $a_n\neq 0$. Démontrer que $x^{-n} f(x)$ admet une limite non-nulle en $+\infty$.
  2. On suppose qu'il existe deux polynômes $P$ et $Q$ tels que, pour tout $x>0$, $$\ln x=\frac{P(x)}{Q(x)}.$$ On note $p=\deg P$ et $q=\deg Q$. Démontrer que $x^{q-p}\ln (x)$ admet une limite non-nulle en $+\infty$.
  3. En déduire que l'hypothèse fait à la question précédente est fausse.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Point le plus proche de l'origine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la courbe de la fonction exponentielle dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
  1. Pour $x\in\mathbb R$, on pose $g(x)=x+e^{2x}$. Démontrer qu'il existe un réel $c$ tel que $g(x)< 0$ si $x< c$ et $g(x)> 0$ si $x> c$.
  2. En déduire qu'il y a un unique point sur la courbe de la fonction exponentielle qui minimise la distance à l'origine. On le note $M_0$.
  3. Démontrer que la tangente à la courbe en $M_0$ est perpendiculaire à la droite $(OM_0)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \arccos(x)=\frac\pi 6&\quad&\mathbf{2.\ } \arctan(x/2)=\pi\\ \mathbf{3.}\ \arcsin(x)=\arccos(x). \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $p\in\mathbb N$.
  1. Vérifier que $\arctan(p+1)-\arctan p=\arctan\left(\frac{1}{p^2+p+1}\right)$.
  2. Déterminer la limite de $S_n=\sum_{p=0}^n\arctan\left(\frac1{p^2+p+1}\right)$.
Indication
Corrigé