$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : exercices sur les espaces vectoriels

Pour réviser
Exercice 1 - Polynômes à degrés échelonnés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb C[X]$ non nuls, à degrés échelonnés, c'est-à-dire $\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Montrer que $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que les vecteurs $u_1=(0,1,1)$, $u_2=(1,0,1)$ et $u_3=(1,1,0)$ forment une base de $\mathbb R^3$. Trouver dans cette base les coordonnées du vecteur $u=(1,1,1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Bases de sous-espaces vectoriels - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ les sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$ définis par : \begin{eqnarray*} F&=&\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-2y+z=0\}\\ G&=&\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x-y+2z=0\}. \end{eqnarray*}
  1. Donner une base de $F$, une base de $G$, en déduire leur dimension respective.
  2. Donner une base de $F\cap G$, et donner sa dimension.
  3. Montrer que la famille constituée des vecteurs de la base de $F$ trouvée en 1 et des vecteurs de la base de $G$ trouvée en 2. est une famille génératrice de $\mathbb R^3$. Est-elle libre?
  4. Les espaces $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^4$ : $$\begin{array}{llll} v_1=(1,2,0,1)&v_2=(1,0,2,1)&v_3=(2,0,4,2)\\ w_1=(1,2,1,0)&w_2=(-1,1,1,1)&w_3=(2,-1,0,1)&w_4=(2,2,2,2). \end{array}$$
  1. Montrer que $(v_1,v_2)$ est libre et que $(v_1,v_2,v_3)$ est liée.
  2. Montrer que $(w_1,w_2,w_3)$ est libre et que $(w_1,w_2,w_3,w_4)$ est liée.
  3. Montrer que $(v_1,v_2,w_1,w_2)$ est libre.
  4. Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$ engendré par $(v_1,v_2,v_3)$.
    1. Déterminer une base de $F$.
    2. Donner un supplémentaire de $F$.
  5. Soit $G$ le sous-espace vectoriel engendré par $(w_1,w_2,w_3,w_4)$. Déterminer une base de $G$.
    1. A l'aide des bases trouvées en 4. et 5. construire un système générateur de $F+G$.
    2. En déduire que $F+G=\mathbb R^4$.
    1. Montrer que $v_1+v_2$ est dans $F\cap G$.
    2. Calculer la dimension de $F\cap G$.
    3. Donner une base de $F\cap G$.
  6. $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'application linéaire $f$ de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^4$ définie par $$f(x,y,z)=(x+z,y-x,z+y,x+y+2z).$$
  1. Déterminer une base de $\textrm{Im}(f)$.
  2. Déterminer une base de $\ker(f)$.
  3. L'application $f$ est-elle injective? surjective?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Projection ou symétrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'application linéaire $f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ définie par $f(x,y,z)=(2x-2z,y,x-z)$. $f$ est-elle une symétrie? une projection? Déterminer une base de ses éléments caractéristiques.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 7 - Fonctions paires / Fonctions impaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. On note $F$ le sous-espace vectoriel des fonctions paires (ie $f(-x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$) et $G$ le sous-espace vectoriel des fonctions impaires (ie $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$). Montrer que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal L(E)$. On suppose que, pour tout $x\in E$, il existe un entier $n_x\in\mathbb N$ tel que $f^{n_x}(x)=0.$ Montrer qu'il existe un entier $n$ tel que $f^n=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$.
  1. Montrer que $$\ker(f)=\ker(f^2)\iff \textrm{Im}f\cap\ker(f)=\{0\}.$$
  2. On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que $$\ker(f)=\ker(f^2)\iff \textrm{Im}f\oplus \ker(f)=E\iff \textrm{Im}(f)=\textrm{Im}(f^2).$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Application aux polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est l'étude de l'application $\Delta$ définie sur $\mtr[X]$ par $(\Delta P)(X)=P(X+1)-P(X)$.
  1. Question préliminaire : Soit $(P_n)$ une famille de $\mtr[X]$ telle que pour chaque $n$, $\deg(P_n)=n$. Prouver que $(P_n)$ est une base de $\mtr[X]$.
  2. Montrer que $\Delta$ est une application linéaire. Calculer son noyau et son image.
  3. Montrer qu'il existe une unique famille $(H_n)_{n\in\mtn}$ de $\mtr[X]$ telle que $H_0=1$, $\Delta(H_n)=H_{n-1}$, et $H_n(0)=0$. Montrer que $(H_n)$ est une base de $\mtr[X]$.
  4. Soit $P\in\mtr_p[X]$. Montrer que $P$ peut s'écrire $$P=\sum_{n=0}^p (\Delta^nP)(0)H_n.$$
  5. Montrer que l'on a $(\Delta^n P)(0)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom nk P(k)$.
  6. Montrer que pour tout $n$, $H_n=\frac{X(X-1)\dots (X-n+1)}{n!}$.
  7. En déduire que, pour tout polynôme $P$ de degré $p$, les assertions suivantes sont équivalentes :
    1. $P$ prend des valeurs entières sur $\mtz$.
    2. $P$ prend des valeurs entières sur $\{0,\dots,p\}$.
    3. Les coordonnées de $P$ dans la base $(H_n)$ sont des entiers.
    4. $P$ prend des valeurs entières sur $p+1$ entiers consécutifs.
Indication
Corrigé