$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : équations différentielles

Pour réviser
Exercice 1 - Premier ordre, à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $7y'+2y=2x^3-5x^2+4x-1$;
  2. $y'+2y=x^2-2x+3$;
  3. $y'+y=xe^{-x}$;
  4. $y'-2y=\cos(x)+2\sin(x)$;
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Varions la constante... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y'+y=\frac{1}{1+e^x}$ sur $\mathbb R$;
  2. $(1+x)y'+y=1+\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$;
  3. $y'-\frac yx=x^2$ sur $]0,+\infty[$;
  4. $y'-2xy=-(2x-1)e^x$ sur $\mathbb R$;
  5. $y'-\frac{2}ty=t^2$ sur $]0,+\infty[$;
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Dissolution d'un composé chimique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante. On place 20g de ce composé, et on observe que 5min plus tard, il reste 10g. Dans combien de temps restera-t-il seulement 1g?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Équations du second ordre à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y''-2y'+y=x$, $y(0)=y'(0)=0$;
  2. $y''+9y=x+1$, $y(0)=0$;
  3. $y''-2y'+y=\sin^2 x$;
Corrigé
Exercice 5 - Raccordement détaillé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $C,D\in\mathbb R$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $$f(x)=\begin{cases} C\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x>0\\ D\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x<0. \end{cases} $$
    1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $C$ et $D$ pour que $f$ se prolonge par continuité en $0$.
    2. Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté $f$, est alors dérivable en $0$ et que $f'$ est continue en 0.
  2. On considère l'équation différentielle $$x^2y'-y=0.$$ Résoudre cette équation sur les intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
  3. Résoudre l'équation précédente sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 6 - Changement de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à résoudre sur $\mathbb R_+^*$ l’équation différentielle : $$x^2y"−3xy'+4y = 0.\ (E)$$
  1. Cette équation est-elle linéaire ? Qu’est-ce qui change par rapport au cours ?
  2. Analyse. Soit $y$ une solution de $(E)$ sur $\mathbb R_+^*$. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $z(t)=y(e^t)$.
    1. Calculer pour $t\in\mathbb R$, $z'(t)$ et $z''(t)$.
    2. En déduire que $z$ vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants que l’on précisera (on pourra poser $x = e^t$ dans $(E)$).
    3. Résoudre l’équation différentielle trouvée à la question précédente.
    4. En déduire le ”portrait robot” de $y$.
  3. Synthèse. Vérifier que, réciproquement, les fonctions trouvées à la fin de l’analyse sont bien toutes les solutions de (E) et conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Le vecteur sous-tangent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f'$ ne s'annule pas. Soit $M$ un point de la courbe représentative $C_f$ de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. On note $T$ le point d'intersection de la tangente à $C_f$ avec l'axe $(O,\vec i)$ et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $(O,\vec i)$. On appelle vecteur sous-tangent à $C_f$ en $M$ le vecteur $\overrightarrow{TP}$.
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to \mathbb R$ (dérivables, et dont la dérivée ne s'annule pas) dont les vecteurs sous-tangents en tout point de $C_f$ sont égaux à un vecteur constant.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Équation différentielle en Terminale S [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En Terminale S, les élèves ont les connaissances suivantes :
  • ils savent que la fonction exponentielle est l'unique fonction $y$ dérivable sur $\mathbb R$, telle que $y'=y$ et $y(0)=1$; ils connaissent aussi les principales propriétés de la fonction exponentielle;
  • ils savent que si $f:I\to\mathbb R$ est une fonction dérivable sur l'intervalle I avec $f'=0$, alors $f$ est constante sur $I$.
Les équations différentielles ne sont en revanche pas à leur programme. Proposer un exercice niveau Terminale S proposant de déterminer toutes les solutions de l'équation $y'+2y=x+1$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et vérifiant, pour tous $s,t\in\mathbb R$, $$f(s+t)=f(s)f(t).$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Avec des séries entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'équation différentielle $$xy''-y'+4x^3 y=0\quad\quad (E)$$ dont on se propose de déterminer les solutions sur $\mathbb R$.
  1. Question préliminaire : soient $a,b,c,d$ 4 réels et $f:\mathbb R^*\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a\cos(x^2)+b\sin(x^2)&\textrm{ si }x>0\\ c\cos(x^2)+d\sin(x^2)&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right. $$ A quelle condition sur $a,b,c,d$ la fonction $f$ se prolonge-t-elle en une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb R$?
    On recherche les solutions de $(E)$ qui sont développables en série entière au voisinage de 0. On note $x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ une telle solution, lorsqu'elle existe, et on désigne par $R$ son rayon de convergence.
  2. Montrer qu'il existe une relation de récurrence, que l'on explicitera, entre $a_{n+4}$ et $a_n$.
  3. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p+1}$ et $a_{4p+3}$.
  4. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p}$ en fonction de $a_0$ et de $p$ (respectivement $a_{4p+2}$ en fonction de $a_2$ et $p$).
  5. Quel est le rayon de la série entière obtenue? Exprimer la comme combinaison linéaire de deux fonctions "classiques".
  6. Soit $S$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$. Préciser une base de $S$.
Indication
Corrigé