Capes : équations différentielles
Pour réviser
Exercice 1 - Premier ordre, à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
- $7y'+2y=2x^3-5x^2+4x-1$;
- $y'+2y=x^2-2x+3$;
- $y'+y=xe^{-x}$;
- $y'-2y=\cos(x)+2\sin(x)$;
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
- $y'+y=\frac{1}{1+e^x}$ sur $\mathbb R$;
- $(1+x)y'+y=1+\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$;
- $y'-\frac yx=x^2$ sur $]0,+\infty[$;
- $y'-2xy=-(2x-1)e^x$ sur $\mathbb R$;
- $y'-\frac{2}ty=t^2$ sur $]0,+\infty[$;
Enoncé
La vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante.
On place 20g de ce composé, et on observe que 5min plus tard, il reste 10g. Combien de temps faut-il encore attendre pour qu'il reste seulement 1g?
Exercice 4 - Équations du second ordre à coefficients constants - second membre polynômial [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
- $y''-3y'+2y=1$;
- $y''-2y'+y=x$, $y(0)=y'(0)=0$;
- $y''+9y=x+1$, $y(0)=0$.
Enoncé
- Soient $C,D\in\mathbb R$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par
$$f(x)=\begin{cases}
C\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x>0\\
D\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x<0.
\end{cases}
$$
- Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $C$ et $D$ pour que $f$ se prolonge par continuité en $0$.
- Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté $f$, est alors dérivable en $0$ et que $f'$ est continue en 0.
- On considère l'équation différentielle $$x^2y'-y=0.$$ Résoudre cette équation sur les intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
- Résoudre l'équation précédente sur $\mathbb R$.
Pour progresser
Enoncé
On cherche à résoudre sur $\mathbb R_+^*$ l’équation différentielle :
$$x^2y"−3xy'+4y = 0.\ (E)$$
- Cette équation est-elle linéaire ? Qu’est-ce qui change par rapport au cours ?
- Analyse. Soit $y$ une solution de $(E)$ sur $\mathbb R_+^*$. Pour $t\in\mathbb R$, on pose $z(t)=y(e^t)$.
- Calculer pour $t\in\mathbb R$, $z'(t)$ et $z''(t)$.
- En déduire que $z$ vérifie une équation différentielle linéaire d’ordre 2 à coefficients constants que l’on précisera (on pourra poser $x = e^t$ dans $(E)$).
- Résoudre l’équation différentielle trouvée à la question précédente.
- En déduire le ”portrait robot” de $y$.
- Synthèse. Vérifier que, réciproquement, les fonctions trouvées à la fin de l’analyse sont bien toutes les solutions de (E) et conclure.
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f'$ ne s'annule pas.
Soit $M$ un point de la courbe représentative $C_f$ de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
On note $T$ le point d'intersection de la tangente à $C_f$ au point $M$ avec l'axe $(O,\vec i)$ et $P$ le projeté orthogonal
de $M$ sur l'axe $(O,\vec i)$. On appelle vecteur sous-tangent à $C_f$ en $M$ le vecteur $\overrightarrow{TP}$.
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to \mathbb R$ (dérivables, et dont la dérivée ne s'annule pas) dont les vecteurs sous-tangents en tout point de $C_f$ sont égaux à un vecteur constant.
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to \mathbb R$ (dérivables, et dont la dérivée ne s'annule pas) dont les vecteurs sous-tangents en tout point de $C_f$ sont égaux à un vecteur constant.
Exercice 8 - Équation différentielle en Terminale S [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En Terminale S, les élèves ont les connaissances suivantes :
- ils savent que la fonction exponentielle est l'unique fonction $y$ dérivable sur $\mathbb R$, telle que $y'=y$ et $y(0)=1$; ils connaissent aussi les principales propriétés de la fonction exponentielle;
- ils savent que si $f:I\to\mathbb R$ est une fonction dérivable sur l'intervalle I avec $f'=0$, alors $f$ est constante sur $I$.
Enoncé
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et vérifiant, pour tous $s,t\in\mathbb R$,
$$f(s+t)=f(s)f(t).$$
Enoncé
On considère l'équation différentielle
$$xy''-y'+4x^3 y=0\quad\quad (E)$$
dont on se propose de déterminer les solutions sur $\mathbb R$.
- Question préliminaire : soient $a,b,c,d$ 4 réels et $f:\mathbb R^*\to\mathbb R$ définie par
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
a\cos(x^2)+b\sin(x^2)&\textrm{ si }x>0\\
c\cos(x^2)+d\sin(x^2)&\textrm{ si }x<0
\end{array}\right.
$$
A quelle condition sur $a,b,c,d$ la fonction $f$ se prolonge-t-elle en une fonction de classe $C^2$ sur
$\mathbb R$?
On recherche les solutions de $(E)$ qui sont développables en série entière au voisinage de 0. On note $x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ une telle solution, lorsqu'elle existe, et on désigne par $R$ son rayon de convergence. - Montrer qu'il existe une relation de récurrence, que l'on explicitera, entre $a_{n+4}$ et $a_n$.
- Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p+1}$ et $a_{4p+3}$.
- Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p}$ en fonction de $a_0$ et de $p$ (respectivement $a_{4p+2}$ en fonction de $a_2$ et $p$).
- Quel est le rayon de la série entière obtenue? Exprimer la comme combinaison linéaire de deux fonctions "classiques".
- Soit $S$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$. Préciser une base de $S$.