$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : exercices sur les fonctions continues

Pour réviser
Exercice 1 - Bien comprendre la définition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Écrire, à l'aide de quantificateurs, la proposition suivante : $f$ ne tend pas vers $+\infty$ en $+\infty$.
  2. Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. On suppose que $f$ admet une limite $\ell$ en $+\infty$, avec $\ell>0$. Démontrer qu'il existe un réel $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, $f(x)>0$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ continue telle que, $$\forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ f(x+y)=f(x)+f(y).$$
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
  2. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$ et tout $x\in\mathbb R$, $f(nx)=nf(x)$.
  3. Démontrer que pour tout nombre rationnel $r=\frac{p}q$ et pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$f\left(\frac pq x\right)=\frac pqf(x)$$ (on pourra écrire $p=q\times\frac pq$).
  4. Conclure qu'il existe $a\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=ax$.
Corrigé
Enoncé
Montrer que l'équation $x^3+x^2-4x+1=0$ admet au moins trois solutions distinctes dans $\mathbb R$. En utilisant l'algorithme de dichotomie, donner un encadrement d'amplitude inférieur à $10^{-1}$ de chacune de ces racines.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[0,1]\to[0,1]$ une fonction continue. Démontrer que $f$ admet toujours au moins un point fixe.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Manipuler la définition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Écrire, avec des quantificateurs, que $f$ n'est pas uniformément continue.
Corrigé
Pour progresser
Exercice 6 - Fonction périodique ayant une limite en $+\infty$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ périodique et admettant une limite finie $l$ en $+\infty$. Montrer que $f$ est constante.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Avec une limite en l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est bornée sur $[0,+\infty[$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Non continue et vérifie pourtant la propriété des valeurs intermédiaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0&\textrm{si }x=0\\ \sin\left(\frac 1x\right)&\textrm{sinon.} \end{array} \right.$$ Démontrer que la fonction $f$ n'est pas continue en 0, mais qu'elle vérifie la propriété des valeurs intermédiaires (c'est-à-dire que pour tous $a<b$ de $\mathbb R$ et tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, on peut trouver $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\lambda$).
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Avec une limite à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue admettant une limite (finie) en $+\infty$. Montrer que $f$ est uniformément continue.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Racines suivant la parité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère pour $n\in\mathbb N$ le polynôme $P_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}$. Démontrer que $P_n$ n'a pas de racines réelles si $n$ est pair, et que $P_n$ admet une unique racine réelle si $n$ est impair.
Indication
Corrigé