Capes : exercices sur les fonctions continues

Posons $f(x)=x^3+x^2-4x+1$. Remarquons que $f(0)=1>0$ et que $f(1)=-1<0$. De plus, $\lim_{-\infty}f=-\infty$ et $\lim_{+\infty}f=+\infty$. On va donc appliquer trois fois le théorème des valeurs intermédiaires :

• On a $0\in f(]-\infty,0[)$, et donc par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à la fonction continue $f$, il existe $x_1\in ]-\infty,0[$ tel que $f(x_1)=0$.
• On a $0\in f(]0,1[)$, et donc par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $f$, il existe $x_2\in]0,1[$ tel que $f(x_2)=0$.
• On a $0\in f(]1,+\infty[)$, et donc par le théorème des valeurs intermédiaires appliqué à $f$, il existe $x_3\in]1,+\infty[$ tel que $f(x_3)=0$.

Puisque $x_1<0<x_2<1<x_3$, on a bien trouvé trois racines distinctes à l'équation. En fait, comme on a affaire à un polynôme de degré 3, il ne peut pas avoir plus de 3 racines, et on a trouvé toutes ses racines.
On va maintenant encadrer ces racines. Pour cela on va utiliser la méthode de dichotomie. Commençons par $x_2$, dont on sait déjà qu'elle est comprise entre 0 et 1. On calcule successivement les valeurs suivantes $$ \begin{array}{c|c} x&f(x)\\ 0,5 &-0,625\\ 0,25 &0,078125\\ 0,375& -0,306640625\\ 0,3125& -0,121826172\\ \end{array}.$$ On en déduit que $0,25<x_2<0,3125$. Pour $x_3$, on commence par remarquer que $f(1)=-1<0<f(2)=5$. $x_3$ est donc localisé dans l'intervalle $[1,2]$. La méthode de dichotomie donne cette fois : $$ \begin{array}{c|c} x&f(x)\\ 1,5 &0,625\\ 1,25 &-0,484375\\ 1,375& -0,009765625\\ 1,4375& 0,286865234\\ \end{array}.$$ On en déduit que $1,375<x_3<1,4375$. Maintenant, pour $x_1$, il faut d'abord tatonner un encadrement grossier. On a $f(-2)=5>0>f(-3)=-5$. On applique donc la méthode de dichotomie entre $-2$ et $-3$. On trouve $$ \begin{array}{c|c} x&f(x)\\ -2,5 &1,625\\ -2,75 & -1,234375\\ -2,625& 0,302734375\\ -2,6875& -0,438232422\\ \end{array} $$ On en déduit que $-2,6875<x_1<-2,625$.

Posons $g(x)=f(x)-x$. $g$ est une fonction continue. Puisque $f(0)\geq 0$ et $f(1)\leq 1$, on a $g(0)\geq 0$ et $g(1)\leq 0$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in[0,1]$ tel que $g(c)=0$. En particulier, $f(c)=c$.

Il suffit de nier la définition : $$\exists \veps>0,\ \forall \eta>0,\ \exists (x,y)\in I^2, |x-y|\leq \eta\wedge |f(x)-f(y)|>\veps,$$ le symbole $\wedge$ signifiant "et".

Soit $T>0$ une période de $f$ et $x_0\in\mathbb R$. La suite $(x_0+nT)$ tend vers $+\infty$. Puisque $f$ admet une limite $l$ en $+\infty$, la suite $(f(x_0+nT))$ tend vers $l$. Or, par $T$-périodicité, on sait que $$f(x_0+nT)=f(x_0)\textrm{ pour tout }n\geq 1.$$ Par passage à la limite, on obtient $f(x_0)=l$ et donc la fonction $f$ est constante égale à $l$.

Soit $a=\lim_{+\infty} f$. Appliquons la définition de la limite pour $\veps=1$. Il existe $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, on a $|f(x)-a|\leq 1$. En particulier, pour $x\in[A,+\infty[$, on a $|f(x)|\leq |a|+1$. De plus, $f$ est continue sur le segment $[0,A]$. Elle y est bornée. Soit $M_0$ tel que $|f(x)|\leq M_0$ pour tout $x\in[0,A]$. Alors, en posant $M=\max(M_0,|a|+1)$, on a $|f(x)|\leq M$ pour tout $x\in[0,+\infty[$.

Soit $\veps>0$ et $a=\lim_{+\infty}f$. Alors on sait qu'il existe $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, on a $$|f(x)-a|<\veps/2.$$ D'autre part, d'après le théorème de Heine, $f$ est uniformément continue sur le segment $[0,A+1]$ : il existe $\eta>0$ tels que, pour tous $x,y\in[0,A+1]$ avec $|x-y|<\eta$, on a $|f(x)-f(y)|<\veps$. Quitte à le réduire, on peut toujours supposer $\eta<1$. Prouvons maintenant que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb R_+$ en prenant deux élements $x,y\in\mathbb R_+$ avec $|x-y|<\eta$. On distingue deux cas :

1. Si $x\in[0,A]$ ou $y\in[0,A]$, alors, puisque $|x-y|<\eta<1$, on a $x$ et $y$ qui sont éléments de $[0,A+1]$. On a donc bien $$|f(x)-f(y)|<\veps.$$
2. Sinon, on a $x\geq A$ et $y\geq A$. On passe alors par $a$ : $$|f(x)-f(y)|=|f(x)-a+a-f(y)|\leq |f(x)-a|+|f(y)-a|<\veps.$$

Ainsi, on a bien prouvé que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb R_+$. Remarquons l'intérêt d'utiliser le théorème de Heine sur $[0,A+1]$ et non sur $[0,A]$. Il faut travailler sur quelque chose de plus grand que $[0,A]$ pour éviter les problèmes de raccord.

On va procéder par récurrence, la clé étant que $P_{n+1}'=P_n$. Posons, pour $n\in\mathbb N$, la propriété $\mathcal P(n)$ : "si $n$ est pair, $P_n$ n'admet pas de racine réelle et si $n$ est impair, alors $P_n$ admet une unique racine réelle".
Initialisation : $P_0(x)=1$ n'admet pas de racines réelles, donc $\mathcal P(0)$ est vraie.
Hérédité : soit $n\in\mathbb N$ tel que $\mathcal P(n)$ est vraie, et prouvons $\mathcal P(n+1)$. On distingue deux cas :

• $n+1$ est impair. Dans ce cas, $P_{n+1}$ est un polynôme de degré impair. On a alors $\lim_{x\to-\infty}P_{n+1}(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}P_{n+1}(x)=+\infty$, donc par le théorème des valeurs intermédiaires, $P_{n+1}$ admet au moins une racine réelle. De plus, puisque par hypothèse de récurrence $P_n$ n'admet pas de racines réelles, et que $\lim_{x\to+\infty}P_n(x)=+\infty$, $P_n$ est strictement positif sur $\mathbb R$. Mais $P_{n+1}'=P_n$, et donc $P_{n+1}$ est strictement croissante sur $\mathbb R$. Ainsi, l'équation $P_{n+1}(x)=0$ ne peut admettre au plus qu'une seule solution et $P_{n+1}$ admet une unique racine réelle.
• $n+1$ est pair. Par hypothèse de récurrence, on sait que $P_n$ admet une unique racine réelle que nous noterons $\alpha$; puisque $P_n$ est de degré impair, on en déduit alors que $P_n(x)<0$ si $x<\alpha$ et $P_n(x)>0$ si $x>\alpha$. Ainsi, toujours puisque $P_{n+1}'=P_n,$ $P_{n+1}$ est décroissant sur $]-\infty,\alpha[$ et est croissant sur $]\alpha,+\infty[$. Mais $P_{n+1}(\alpha)=P_n(\alpha)+\frac{\alpha^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{\alpha^{n+1}}{(n+1)!}>0$ puisque $n+1$ est pair et $\alpha\neq 0$ ($P_n(0)=1$). Ainsi, $P_{n+1}$ admet son minimum en $\alpha$ et $P_{n+1}(\alpha)>0$. On en déduit que $P_{n+1}$ n'admet pas de racine réelle.

Conclusion : On a prouvé que $\mathcal P(0)$ est vraie et que, pour tout $n\in\mathbb N$, $\mathcal P(n)\implies \mathcal P(n+1)$. Ainsi, $\mathcal P(n)$ est vraie pour tout entier $n$.