$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : exercices sur les nombres complexes

Pour réviser
Exercice 1 - Les deux à la fois - avec application [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère les nombres complexes suivants : $$z_1=1+i\sqrt 3,\ z_2=1+i\textrm{ et }z_3=\frac{z_1}{z_2}.$$
  1. Écrire $z_3$ sous forme algébrique.
  2. Écrire $z_3$ sous forme trigonométrique.
  3. En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac\pi{12}$ et $\sin\frac\pi{12}$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Forme trigonométrique et formule d'Euler [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b\in]0,\pi[$. Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : $$\mathbf 1.\ z_1=1+e^{ia}\quad \mathbf 2.\ z_2=1-e^{ia}\quad \mathbf 3.\ z_3=e^{ia}+e^{ib}\quad \mathbf 4. z_4=\frac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Équations du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations du second degré suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z^2-2iz-1+2i=0&&\mathbf{2.}\ iz^2+(4i-3)z+i-5=0\\ \mathbf{3.}\ z^2-(7+i)z+12+3i=0. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Variations sur les équations classiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ iz^8+iz^4+1+i=0&&\mathbf{2.}\ z^n=\bar z\ (n\geq 2)\\ \mathbf{3.}\ z^4-z^3+z^2-z+1=0&& \mathbf{4.}\ 1+2z+\dots+2z^{n-1}+z^n=0 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer le lieu géométrique des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie $$ \begin{array}{ll} \mathbf 1.\ \displaystyle \frac{|z-3|}{|z-5|}=1&\mathbf{2.}\ \displaystyle \frac{|z-3|}{|z-5|}=\frac{\sqrt 2}2\\ \mathbf 3.\ |(1+i)z-2i|=2 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 6 - Entiers somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'un entier naturel $N$ est somme de deux carrés s'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ de sorte que $N=a^2+b^2$.
  1. Écrire un algorithme permettant de déterminer si un entier naturel $N$ est somme de deux carrés.
  2. On souhaite prouver que, si $N_1$ et $N_2$ sont sommes de deux carrés, alors leur produit $N_1N_2$ est aussi somme de deux carrés. Pour cela, on écrit $N_1=a^2+b^2$ et $N_2=c^2+d^2$, et on introduit $z_1=a+ib$, $z_2=c+id$. Comment écrire $N_1$ et $N_2$ en fonction de $z_1$ et $z_2$?
  3. En déduire que $N_1N_2$ est somme de deux carrés.
  4. Démontrer que si $N$ est somme de deux carrés, alors pour tout entier $p\geq 1$, $N^p$ est somme de deux carrés.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Inégalité triangulaire itérée, et cas d'égalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Justifier que, pour tout nombre complexe $z$, on a $\Re e(z)\leq |z|$. Dans quel cas a-t-on égalité?
  2. Démontrer que pour tout couple $(z_1,z_2)$ de nombres complexes, on a $|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|$.
  3. On suppose de plus que $z_1$ et $z_2$ sont des nombres complexes non nuls. Justifier que l'inégalité précédente est une égalité si et seulement s'il existe un réel positif $\lambda$ tel que $z_2=\lambda z_1$.
  4. Démontrer que pour tout $n$-uplet $(z_1,\dots,z_n)$ de nombres complexes, on a $$|z_1+\cdots+z_n|\leq |z_1|+\cdots+|z_n|.$$
  5. Démontrer que si $z_1,\dots,z_n$ sont tous non nuls, alors l'inégalité précédente est une égalité si et seulement si il existe des réels positifs $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ tels que, pour tout $k=1,\dots,n$, on a $z_k=\lambda_k z_1$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Somme et puissances de racines $n$-iemes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.
  1. Calculer le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.
  2. Soit $p\geq 0$. Calculer $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kp}$.
  3. En déduire que $\sum_{k=0}^{n-1}(1+\omega^k)^n =2n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit la figure suivante :
Le but de l'exercice est de démontrer que $\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$. On se place dans le repère orthonormé direct $(A,\vec u,\vec v)$ de sorte que $\vec u=\overrightarrow{AB}$.
  1. Reproduire la figure et placer les points $E$ et $F$ sur $[DZ]$ tels que $\beta$ et $\gamma$ soient des mesures respectives de $(\vec u,\overrightarrow{AE})$ et $(\vec u,\overrightarrow{AF})$.
  2. Quelles sont les affixes des points $z_Z$, $z_E$ et $z_F$?
  3. Démontrer que $z_Z\times z_E\times z_F=65(1+i)$.
  4. Conclure.
Corrigé
Exercice 10 - Une coquille d'escargot [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O,\vec i,\vec j)$, on note $A_0$ le point d'affixe 6 et $S$ la similitude de centre $O$, de rapport $\frac{\sqrt 3}2$ et d'angle $\frac\pi 6$. On pose $A_{n+1}=S(A_n)$ pour $n\geq 1$.
  1. Déterminer, en fonction de $n$, l'affixe du point $A_n$. En déduire que $A_{12}$ est sur la demi-droite $(O,\vec i)$.
  2. Établir que le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
  3. Calculer la longueur du segment $[A_0A_1]$. En déduire la longueur $\ell$ de la ligne polygonale $A_0A_1A_2\dots A_{12}.$
Indication
Corrigé