$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Capes : exercices sur l'analyse asymptotique

Pour réviser
Enoncé
Quels sont les équivalents corrects parmi les propositions suivantes? $$ \begin{array}{lllll} \mathbf 1.\ n\sim_{+\infty}n+1&\quad&\mathbf 2.\ n^2\sim_{+\infty}n^2+n&\quad&\mathbf 3.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(10^6 n)\\ \mathbf 4.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp\left(n+10^{-6}\right)&\quad&\mathbf 5.\ \exp(n)\sim_{+\infty}\exp(2n)&\quad&\mathbf 6.\ \ln(n)\sim_{+\infty}\ln(n+1). \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Exponentielle et équivalent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies au voisinage d'un point $a$. Montrer que $e^f\sim_a e^g\iff \lim_a(f-g)=0$. A-t-on $f\sim_a g\implies e^f\sim_a e^g$?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Somme et produit de DLs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1-x}-e^x\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt{1-x}+\sqrt{1+x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \sin x\cos(2x)\textrm{ à l'ordre 6 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \cos(x)\ln(1+x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 5.\ (x^3+1)\sqrt{1-x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}&&\displaystyle \mathbf 6.\ \big(\ln(1+x)\big)^2\textrm{ à l'ordre 4 en 0} \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Déterminer les développements limités des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{1}{1+x+x^2}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&&\displaystyle \mathbf 2.\ \tan(x)\textrm{ à l'ordre 5 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x-1}{\cos x+1}\textrm{ à l'ordre 2 en 0}&&\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\ln(1+x)}{\sin x}\textrm{ à l'ordre 3 en 0}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf 1.\ \ln\left(\frac{\sin x}{x}\right)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}&& \displaystyle \mathbf 2.\ \exp(\sin x)\textrm{ à l'ordre 4 en 0}\\ \displaystyle \mathbf 3.\ (\cos x)^{\sin x}\textrm{ à l'ordre 5 en 0}&& \displaystyle \mathbf 4.\ x\big(\cosh x\big)^{\frac 1x}\textrm{ à l'ordre 4 en 0}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 6 - Régularité d'une fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b\in\mathbb R$ et soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2}&\textrm{si }x>0\\ ax+b&\textrm{si }x\leq 0. \end{array}\right.$$
  1. Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la fonction $f$ est-elle continue en 0?
  2. Dans la copie de l'élève A, on lit en conclusion de la première question : "$f$ est continue si $a\in\mathbb R$ et $b=-1/2$". Dans la copie de l'élève B, on lit au même endroit : "il faut que $a\in\mathbb R$ et que $b=-1/2$ pour que $f$ soit continue". Qu'en pensez-vous? Comparez avec votre rédaction.
  3. Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la fonction $f$ est-elle dérivable en 0?
  4. Pour quelle(s) valeur(s) de $a$ et $b$ la fonction $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mathbb R$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer les limites des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lrl} \displaystyle \mathbf 1.\ \frac{\sin x-x}{x^3}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 2.\ \frac{1+\ln(1+x)-e^x}{1-\cos x}\textrm{ en }0;\\ \displaystyle \mathbf 3.\ \left(\frac{a^x+b^x}{2}\right)^{1/x}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 4.\ \frac{2x}{\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right)}\textrm{ en }0;\\ \displaystyle \mathbf 5.\ \frac{\exp(\sin x)-\exp(\tan x)}{\sin x-\tan x}\textrm{ en }0;&& \displaystyle \mathbf 6.\ \frac{x^{x^x}\ln x}{x^x-1}\textrm{ en }0^+;\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Comparaison entre exponentielle et factorielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\gamma>0$. Le but de l'exercice est de prouver que $$e^{\gamma n}=o(n!).$$ Pour cela, on pose, pour $n\geq 1$, $u_n=e^{\gamma n}$ et $v_n=n!$.
  1. Démontrer qu'il existe un entier $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, $$\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac 12\frac{v_{n+1}}{v_n}.$$
  2. En déduire qu'il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq C\left(\frac 12\right)^{n-n_0}v_n.$$
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer les développements limités suivants : $$\begin{array}{lcl} \mathbf 1. \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt x}\textrm{ à l'ordre 3 en }+\infty&& \displaystyle \mathbf 2. \ln\left(x+\sqrt {1+x^2}\right)-\ln x\textrm{ à l'ordre 4 en }+\infty \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Un développement asymptotique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère, pour chaque entier $n\in\mathbb N$, l'équation $x+\ln(x)=n$.
  1. Démontrer que cette équation admet une unique solution $x_n\in]0,+\infty[$, puis démontrer que la suite $(x_n)$ est strictement croissante.
  2. Démontrer que $(x_n)$ tend vers $+\infty$.
  3. Démontrer que $x_n\sim_{n\to +\infty}n$.
  4. Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+o\big(\ln(n)\big)$. On pourra poser $a_n$ tel que $\frac{x_n}n=1+a_n$.
  5. Démontrer que $x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln n}n+o\left(\frac{\ln(n)}{n}\right).$
  6. En admettant éventuellement le résultat de la question précédente, dire parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf a.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-\ln(n)&&\displaystyle \mathbf b.\ x_n\sim_{n\to+\infty} n-2\ln(n)\\ \displaystyle \mathbf c.\ x_n=n-\ln(n)+o(\sqrt{\ln n})&&\displaystyle \mathbf d.\ x_n=n-\ln(n)+\frac{\ln(n)}{n}. \end{array}$$
Indication
Corrigé