$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Démonstrations capes - Statistiques

L'espérance minimise la somme des écarts quadratiques
Soit $(x_i)_{i=1,\dots,n}$ une série statisque. Alors la fonction $G$ définie sur $\mathbb R$ par $$G(x)=\sum_{i=1}^n (x-x_i)^2$$ admet un unique minimum atteint en $\frac{x_1+\dots+x_n}n$.

Application du théorème de de Moivre-Laplace à la construction d'intervalles de fluctuation asymptotique
Soit $\alpha,p\in ]0,1[$ et $u_\alpha$ l'unique réel tel que $P(-u_\alpha\leq Z\leq u_\alpha)=1-\alpha$ si $Z$ est une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires suivant respectivement une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ et notons $I_n$ l'intervalle $I_n=\left[p-u_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n};p+u_\alpha\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right].$ Alors $$\lim_{n\to +\infty}P\left(\frac{X_n}n\in I_n\right)=1-\alpha.$$

Comparaison des intervalles de fluctuation de seconde et de terminale
L'intervalle de fluctuation $\left[p-\frac{1}{\sqrt n};p+\frac{1}{\sqrt n}\right]$ au seuil de 95% est contenu dans l'intervalle de fluctuation asymptotique de même seuil $\left[p-1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n};p+1,96\frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]$.

Variance et covariance
Soit $\{(x_i,y_i);\ 1\leq i\leq n\}$ une série statistique double. Alors $$|Cov(X,Y)|\leq \sigma_X\sigma_Y.$$

Existence et unicité de la droite des moindres carrés
Soit $\{(x_i,y_i);\ {1\leq i\leq n}\}$ une série statistique à deux variables. Pour $a,b\in\mathbb R^2$, on note $$T(a,b)=\sum_{i=1}^n (y_i-ax_i-b)^2$$ qui représente la somme des écarts quadratiques entre le nuage de points $(x_i,y_i)$ et la droite d'équation $y=ax+b$ dans un repère orthonormé. Alors, si $\sigma_x\neq 0$, il existe une unique droite d'équation $y=ax+b$ minimisant la quantité $T(a,b)$. De plus, $$a=\frac{Cov(x,y)}{\sigma_x^2}\textrm{ et }b=\bar y-\bar x\frac{\sigma_{x,y}}{\sigma_x^2}.$$