$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Démonstrations capes - Probabilités

$\Omega$ désigne un univers et $P$ est une probabilité sur $\Omega$.
Formule de Poincaré
Soit $A,B$ deux événements de $\Omega$. Alors $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$$

Probabilité de la réunion d'événements incompatibles
Soit $A_1,\dots,A_n$ des événements deux à deux incompatibles. Alors $P(A_1\cup\dots\cup A_n)=P(A_1)+\dots+P(A_n).$

Formule des probabilités totales
Soit $(E_1,\dots,E_n)$ une partition de $\Omega$ en des événements dont aucun n'est de probabilité nulle. Alors, pour tout événement $A$, $$P(A)=\sum_{i=1}^n P_{E_i}(A)P(E_i).$$

Formule de Bayes
Soit $(E_1,\dots,E_n)$ une partition de $\Omega$ en des événements dont aucun n'est de probabilité nulle. Alors, pour tout événement $A$ de probabilité non-nulle et tout $k=1,\dots,n$, $$P_A(E_k)=\frac{P_{E_k}(A)\times P(E_k)}{\sum_{i=1}^n P_{E_i}(A)\times P(E_i)}.$$

Indépendance et passage au complémentaire
Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $A$ et $\bar B$ sont indépendants.

Linéarité de l'espérance
Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires définies sur $\Omega$, alors $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$.

Espérance du produit de deux variables aléatoires indépendantes
Si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires indépendantes, alors $E(XY)=E(X)E(Y)$.

Formule de König
Soit $X$ une variable aléatoire. Alors $V(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2.$

Variance de la somme de deux variables aléatoires indépendantes
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes. Alors $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$.

Espérance et variance d'une loi binomiale
Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, alors $$E(X)=np\text{ et }V(X)=np(1-p).$$

Relation de Pascal sur les coefficients binomiaux
Pour $n\geq 1$ et $0\leq k\leq n$, on a $$\binom{n+1}{k+1}=\binom{n}k+\binom{n}{k+1}.$$

Symétrie des coefficients binomiaux
Pour $n\geq 1$ et $0\leq k\leq n$, on a $$\binom nk=\binom n{n-k}.$$

Loi d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale
Si $X$ est une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,k)$, alors $P(X=k)=\binom nk p^k (1-p)^{n-k}$.

Espérance et variance d'une variable aléatoire suivant une loi de Poisson
Si $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, alors $E(X)=V(X)=\lambda.$

Espérance d'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle
Si $X$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, alors $E(X)=\frac 1{\lambda}.$

Loi exponentielle et durée de vie sans vieillissement
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$. Alors $X$ vérifie la propriété de "durée de vie sans vieillissement" : pour tous $s,t>0$, on a $$P_{(X>s)}(X>s+t)=P(X>t).$$

Intervalle des valeurs prises par une loi normale
Si $X$ suit une loi normale centrée réduite $\mathcal N(0,1)$, alors pour tout $\alpha\in ]0,1[$, il existe un unique $u_{\alpha}>0$ tel que $P(-u_\alpha<X<u_\alpha)=1-\alpha$.

Densité d'une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal N(m,\sigma^2)$
Si $X$ suit une loi normale $\mathcal N(\mu,\sigma^2)$, alors $X$ admet une densité donnée par $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac 12\left(\frac{x-m}\sigma\right)^2\right).$$

Espérance et variance des lois normales
Si $X$ suit une loi normale $\mathcal N(m,\sigma^2)$, alors $E(X)=m$ et $V(X)=\sigma^2$.