$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Démonstrations capes - Géométrie

Symétrique par rapport à la première bissectrice
Dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$, le symétrique du point $M(a,b)$ par rapport à la droite $y=x$ est le point $M'(b,a)$.

Point de concours des médianes
Les médianes d'un triangle sont concourantes en un point appelé le centre de gravité du triangle. De plus, ce point est situé au deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.

Point de concours des médiatrices
Dans un triangle ABC, les médiatrices des trois segments $[AB]$, $[BC]$ et $[CA]$ sont concourantes.

Point de concours des hauteurs
Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes.

Droite d'Euler
Dans un triangle $ABC$, notons $G$ le centre de gravité, $H$ le point de concours des hauteurs, et $O$ le centre du cercle circonscrit. Alors les points $G,H,O$ sont alignés. Plus précisément, on a $\overrightarrow{GH}=-2\overrightarrow{GO}$.

Triangle rectangle et cercle
$M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ si et seulement si le triangle $AMB$ est rectangle en $M$.

Théorème de Pythagore
Un triangle $ABC$ est rectangle en $A$ si et seulement si $AB^2=AC^2+BC^2$.

Théorème d'Al-Kashi
Soit $ABC$ un triangle. On pose $BC=a$, $CA=b$ et $AB=c$. Alors $$a^2=b^2+c^2-2bc\cos(\hat A).$$

Théorème de la médiane
Dans un triangle $ABC$, si $M$ désigne le milieu de $[BC]$, alors $$AB^2+AC^2=2(BM^2+AM^2).$$

Théorème de Thalès
Soit $(D)$ et $(D')$ deux droites sécantes en $A$. Soit $B,D$ deux points de $(D)$ distincts de $A$ et soit $C,E$ deux points de $(D')$ distincts de $A$. Si les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles, alors $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}.$$

Réciproque du théorème de Thalès
Soit $(D)$ et $(D')$ deux droites sécantes en $A$, $B$ et $D$ deux points de $(D)$ distincts de $A$, $C$ et $E$ deux points de $(D')$ distinct de $A$. On suppose de plus que les points $A,B,D$ et $A,C,E$ sont alignés dans le même ordre. Si $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$ sont égaux, alors les droites $(BC)$ et $(DE)$ sont parallèles.

Propriétés du parallélogramme
Soit $ABCD$ un parallélogramme. Alors
  • les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ se coupent en leur milieu qui est centre de symétrie du parallélogramme.
  • les côtés opposés sont égaux : $AB=BD$ et $BC=AD$.
  • les mesures des angles opposés sont égales : $\widehat{ADC}=\widehat{CBA}$.

Théorème du toit
Si $P_1$ et $P_2$ sont deux plans sécants contenant respectivement deux droites parallèles $d_1$ et $d_2$, alors la droite $d$ intersection de $P_1$ et $P_2$ est parallèle à $d_1$ et à $d_2$.

Droite orthogonale à un plan
Une droite est orthogonale à toute droite d'un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.