$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Démonstrations capes - les suites

Unicité de la limite
Si $(u_n)$ converge vers $\ell_1$ et si $(u_n)$ converge vers $\ell_2$, alors $\ell_1=\ell_2$.

Théorème des gendarmes
Si $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites réelles telles que, pour tout entier $n$ assez grand, $$u_n\leq v_n\leq w_n$$ et si $(u_n)$ et $(w_n)$ convergent vers le même réel $\ell$, alors $(v_n)$ converge vers $\ell$.

Limite et ordres
Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites convergeant respectivement vers $\ell_1$ et $\ell_2$ et vérifiant, pour tout entier $n\in\mathbb N$, $u_n\leq v_n$, alors $\ell_1\leq \ell_2$.

Limite et ordres(bis)
Si $(u_n)$ est une suite croissante qui converge vers $\ell$, alors pour tout entier $n\in\mathbb N$, on a $u_n\leq \ell$.

Limites et ordres(ter)
Si $(u_n)$ est une suite qui tend vers $\ell$ avec $\ell>0$, alors $u_n>0$ à partir d'un certain rang.

Suite croissante et majorée
Si $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ est une suite croissante et majorée, alors elle est convergente.

Suite croissante non majorée
Une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

Fonction continue et limite de suites
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue et $(u_n)$ une suite convergeant vers $\ell$. Alors $(f(u_n))$ converge vers $f(\ell)$.

Inégalité de Bernoulli
Pour tout $x>-1$ et tout $n\in\mathbb N$, on a $(1+x)^n\geq 1+nx$.

Comportement des suites géométriques
Soit $q\in\mathbb R$. Alors la suite $(q^n)$
  • tend vers $+\infty$ si $q>1$.
  • est constante égale à $1$ si $q=1$.
  • tend vers $0$ si $q\in ]-1,1[$.
  • prend successivement les valeurs $+1$ et $-1$ si $q=-1$. En particulier, elle diverge.
  • prend successivement des valeurs positives et négatives si $q<-1$ avec $(|q|^n)$ qui tend vers $+\infty$. En particulier, $(q^n)$ diverge.

Monotonie des suites récurrentes
Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est une fonction croissante, alors toute suite récurrente définie par $u_0\in\mathbb R$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour $n\in\mathbb N$ est monotone. Le sens de monotonie de $(u_n)$ est donné par le signe de $u_0\leq u_1$.}

Suites adjacentes
Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites adjacentes, alors elles convergent vers la même limite.