$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Démonstrations capes - la fonction logarithme

Existence de la fonction logarithme
Pour tout $x>0$, il existe un unique réel $y$ tel que $\exp(y)=x$. On appelle $y$ le logarithme népérien de $x$, noté $\ln(x)$.

Sens de variation
La fonction logarithme est strictement croissante sur $]0,+\infty[$.

Limite en $+\infty$
$\lim_{x\to+\infty}{\ln x}=+\infty$.

Relation fonctionnelle de la fonction logarithme
Si $x,y>0$, alors $\ln(xy)=\ln(x)+\ln(y)$ et $\ln\left(\frac 1x\right)=-\ln x$.

Symétrie des courbes représentatives de la fonction logarithme et de la fonction exponentielle
Dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$, les courbes représentatives des fonctions $\ln$ et $\exp$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

Croissance comparée de la fonction logarithme et des fonctions puissance
On a, pour tout $n\geq 1$, $\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^n}=0$ et $\lim_{x\to 0}x^n\ln(x)=0$.

Dérivée de la fonction logarithme
On admet que la fonction $\ln$ est dérivable sur $]0,+\infty[$. Alors $(\ln )'(x)=\frac 1x$ pour tout $x>0$.