$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Démonstrations capes - les fonctions, continuité et dérivabilité

Théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue telle que $f(a)\leq 0$ et $f(b)\geq 0$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=0$.

Dérivées des fonctions usuelles
$$\begin{array}{c|c|c} \textrm{Fonction}&\textrm{Dérivée}&\textrm{Intervalle de dérivabilité} \\\hline x&1&\mathbb R\\ x^n,\ n\in\mathbb N^*&nx^{n-1}&\mathbb R\\ \sqrt x&\frac1{2\sqrt x}&]0,+\infty[\\ \frac 1x&\frac{-1}{x^2}&\mathbb R^*\\ \sin x&\cos x&\mathbb R\\ \cos x&-\sin x&\mathbb R\\ \end{array}$$

Opérations sur les dérivées
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $a\in I$ et $u,v:I\to\mathbb R$ dérivables en a. Alors
  • $u+v$ est dérivable en $a$ et $(u+v)'(a)=u'(a)+v'(a)$;
  • $uv$ est dérivable en $a$ et $(uv)'(a)=u'(a)v(a)+u(a)v'(a)$;
  • Si $v$ ne s'annule pas en $a$, alors $\frac 1v$ est dérivable en $a$ et $\left(\frac1v\right)'(a)=\frac{-1}{v^2(a)}$.
  • Si $v$ ne s'annule pas en $a$, alors $\frac uv$ est dérivable en $a$ et $\left(\frac uv\right)'(a)=\frac{u'(a)v(a)-v'(a)u(a)}{v^2(a)}.$

Lien entre existence d'un extremum et annulation de la dérivée
Soit $f$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$, $a$ un point à l'intérieur de $I$ tel que $f$ admette un extrémum local en $a$. On suppose en outre que $f$ est dérivable en $a$. Alors $f'(a)=0$.

Sens de variation d'une fonction et signe de la dérivée
Soit $f$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$ dérivable. Alors $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si, pour tout $x\in I$, $f'(x)\geq 0$.