$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Séries numériques

  Dans toute la suite, $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ désigne une suite de nombres complexes.
Généralités
  • On appelle somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_k$ le nombre complexe $$S_n=\sum_{k=0}^n u_k.$$
  • On dit que la série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(S_n)$ est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire. Dans le cas de la convergence, on note $$\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}S_n.$$ Le nombre complexe $ \sum_{k=0}^{+\infty}u_n$ s'appelle la somme de la série $\sum u_k$. Toujours dans le cas de la convergence, le reste de la série d'ordre $n$ est défini par $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k.$$
  • Proposition : Si la série $\sum_n u_n$ converge, alors le terme général $(u_n)$ tend vers 0.
  • Proposition : Soit $a\in\mathbb C$. La série géométrique $\sum_n a^n$ converge si et seulement si $|a|<1$. Dans ce cas, $$\sum_{n=0}^{+\infty}a^n=\frac 1{1-a}.$$
  • Lien suite série : Si on pose, pour $n\geq 0$, $v_n=u_{n+1}-u_n$, alors $$\sum_{k=0}^n v_k=u_{n+1}-u_0.$$ En particulier, la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$ converge.
Séries à termes positifs
  • Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
  • Corollaire : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels positifs telles que $u_n\leq v_n$. Alors
    • si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge.
    • si $\sum_n u_n$ diverge, alors $\sum_n v_n$ diverge.
  • Corollaire : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels positifs telles que $u_n\sim v_n$. Alors $\sum_n u_n$ converge si et seulement si $\sum_n v_n$ converge.
  • Pour appliquer les résultats précédents, on doit se ramener à des séries classiques, par exemple les séries géométriques. C'est le contenu du théorème suivant, qui est souvent appliqué pour des séries dont le terme général contient des puissances, des factorielles...
    Théorème (critère de d'Alembert) : Soit $(u_n)$ une suite strictement positive telle que $\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=R$. Alors
    • si $R<1$, la série $\sum_n u_n$ est convergente.
    • si $R>1$, la série $\sum_n u_n$ est divergente.
    • si $R=1$, on ne peut pas conclure.
Comparaison à une intégrale
  • Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$.
    • si $f$ est croissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n-1}^n f(t)dt\leq f(n)\leq \int_n^{n+1}f(t)dt.$$
    • si $f$ est décroissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n}^{n+1} f(t)dt\leq f(n)\leq \int_{n-1}^{n}f(t)dt.$$
    En sommant ces inégalités, on obtient des encadrements des sommes partielles et des restes des séries.
  • Corollaire (séries de Riemann) : La série $\sum_n \frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.
Séries à termes quelconques
  • On dit que la série $\sum u_n$ est absolument convergente si la série $\sum_n |u_n|$ est convergente.
  • Théorème : Toute série absolument convergente est convergente.
  • En particulier, si $(v_n)$ est une suite de réels positifs telle que $\sum_n v_n$ converge et $u_n=_{+\infty}O(v_n)$, alors la série $\sum_n u_n$ est absolument convergente, donc convergente.
  • Théorème des séries alternées : Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs, décroissante, et tendant vers $0$. Alors la série $\sum_n (-1)^n a_n$ converge. De plus, si on note $S$ sa somme, $S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$ la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k a_k$ le reste d'ordre $n$, alors pour tout entier $n$, on a $S_{2n+1}\leq S\leq S_{2n}$, $|R_n|\leq a_{n+1}$ et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n+1}$.
Développement décimal propre d'un réel
  • Théorème : Soit $x\in [0,1[$. Il existe une unique suite $(a_n)_{n\geq 1}$ d'éléments de $\{0,\dots,9\}$ telle que
    • $(a_n)$ n'est pas stationnaire à $9$;
    • $\displaystyle x=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a_n}{10^n}$.
    L'écriture précédente s'appelle le développement décimal propre de $x$.