$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Réduction des endomorphismes

$E$ désigne un $\mathbb K$-espace vectoriel, $\mathbb K$ étant le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, et $u$ désigne un élément de $\mathcal L(E)$. On rappelle la notation suivante : $$u^n=u\circ u\circ\dots \circ u\textrm{ de sorte que }u^{p+q}=u^p\circ u^q.$$
Sous-espaces stables
  Soit $u,v\in\mathcal L(E)$ et soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit qu'un sous-espace $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$. On peut alors définir un endomorphisme $u_F$ de $F$ en posant $u_F(x)=u(x)$ pour tout $x\in F$. $u_F$ s'appelle l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$.
  • Proposition : si $u$ et $v$ commutent, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$.
  • Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et soit $\mathcal B$ une base dont les premiers vecteurs forment une base de $F$. Alors la matrice de $u$ dans cette base a la forme $$\left(\begin{array}{c|c} A&B\\ \hline 0&C \end{array}\right)$$ si et seulement si $F$ est stable par $u$.
Éléments propres d'un endomorphisme et d'une matrice carrée
  • On dit que $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non-nul $x\in E$ tel que $u(x)=\lambda x$. $x$ s'appelle alors un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$.
  • Si $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$, le sous-espace propre associé à $\lambda$ est le sous-espace $E_\lambda=\ker(u-\lambda Id_E)$.
  • L'ensemble des valeurs propres de $u$ s'appelle le spectre de $u$ et est noté $\textrm{Sp}(u)$.
  • Théorème : Si $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont des valeurs propres distinctes de $u$, alors les sous-espaces propres associés $E_{\lambda_1},\dots,E_{\lambda_p}$ sont en somme directe.
  • Corollaire : Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment toujours une famille libre.
  • Corollaire : Si $E$ est de dimension finie $n$, $u$ admet au plus $n$ valeurs propres.
  • La matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ définit un endomorphisme de $\mathbb K^n$ par $X\mapsto AX$.
  • On définit valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de $A$ comme les valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de l'endomorphisme de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$. En particulier, $X$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$ si et seulement si $AX=\lambda X$.
  • On dit que $A$ et $B$ sont semblables s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ tel que $A=PBP^{-1}$.
  • Proposition : Deux matrices semblables ont le même spectre.
Endomorphismes et matrices diagonalisables
$E$ est de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit que $u$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale. Une telle base est donc constituée de vecteurs propres pour $u$.
  • Proposition : Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme de ses sous-espaces propres est égale à $E$.
  • Corollaire : Un projecteur et une symétrie sont diagonalisables.
  • Théorème : $u$ est diagonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé et si, pour toute valeur propre $\lambda$, on a $\dim(E_\lambda)=\textrm{mult}(\lambda)$.
  • Corollaire : Un endomorphisme de $E$ admettant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.
  • On dit que $A$ est diagonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est diagonalisable.
  • Proposition : $A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est semblable à une matrice diagonale.
Endomorphismes et matrices trigonalisables
$E$ est de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit que $u$ est trigonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
  • Théorème : $u$ est trigonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé. En particulier, si $\mathbb K=\mathbb C$, tout endomorphisme est trigonalisable.
  • On dit que $A$ est trigonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est trigonalisable.
  • Proposition : $A$ est trigonalisable si et seulement si $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
  • En particulier, si $A$ est trigonalisable, sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres (chaque valeur propre étant répétée autant de fois que sa multiplicité) et son déterminant est égal au produit de ses valeurs propres (répétées là aussi autant de fois que leur multiplicité).
Polynômes d'un endomorphisme
  • Soit $P\in\mathbb K[X]$, $P(X)=a_dX^d+a_{d-1}X^{d-1}+\dots+a_1X+a_0$. On note $P(u)$ l'endomorphisme de $E$ défini par $$P(u)=a_d u^d+a_{d-1}u^{d-1}+\dots+a_1u+a_0Id_E.$$
  • Proposition : L'application de $\mathbb K[X]$ dans $\mathcal L(E)$ définie par $P\mapsto P(u)$ est un morphisme d'algèbres. Son image est une sous-algèbre commutative de $\mathcal L(E)$, notée $\mathbb K[u]$. C'est la plus petite algèbre de $\mathcal L(E)$ contenant $u$. Son noyau s'appelle l'idéal annulateur de $u$.
    En particulier, la proposition précédente implique que, pour tous $P,Q\in\mathbb K[X]$, on a $$(PQ)(u)=P(u)\circ Q(u).$$
  • Théorème : Si $E$ est de dimension finie, alors le noyau de $P\mapsto P(u)$ n'est pas réduit à $\{0\}$. Il existe un unique polynôme unitaire $\pi_u$ qui engendre ce noyau. On appelle ce polynôme le polynôme minimal de $u$.
  • Le polynôme minimal de $u$ est donc caractérisé par $\pi_u(u)=0$ et si $P\in\mathbb K[X]$ est tel que $P(u)=0$, alors $\pi_u|P$.
    Dans la suite, on supposera désormais que $E$ est de dimension finie.
  • Proposition : Si $d$ est le degré du polynôme minimal de $u$, alors $\{Id,u,\dots,u^{d-1}\}$ forme une base de $\mathbb K[u]$.
  • Proposition : Soit $P\in\mathbb K[X]$, $\lambda\in\textrm{Sp}(u)$ et $x\in E$ tel que $u(x)=\lambda x$. Alors $$P(u)(x)=P(\lambda)x.$$ En particulier, si $P$ est un polynôme annulateur de $u$, alors $P(\lambda)=0$.
  • Théorème de Cayley-Hamilton : Le polynôme caractéristique $\chi_u$ est un polynôme annulateur de $u$.
  • On définit les mêmes notions pour la matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. Toutes les propriétés analogues sont vérifiées.
Lemme de décomposition des noyaux
  • Théorème : Soient $P_1,\dots,P_r\in\mathbb K[X]$ des polynômes premiers entre eux deux à deux et notons $P=P_1\cdots P_r$. Alors $$\ker(P(u))=\bigoplus_{i=1}^r \ker(P_i(u)).$$
Polynôme annulateur et diagonalisabilité
$E$ est de dimension finie $n$.
  • Théorème : $u$ est diagonalisable si et seulement s'il existe un polynôme scindé à racines simples annulant $u$, si et seulement si son polynôme minimal est scindé à racines simples.
  • Proposition : Soit $F$ un sous-espace stable par $u$ et notons $u_F$ l'endomorphisme induit par $u$ sur $u_F$. Alors son polynôme minimal divise le polynôme minimal de $u$.
  • Corollaire : Si $F$ est un sous-espace stable par $u$ et si $u$ est diagonalisable, alors l'endomorphisme induit $u_F$ par $u$ sur $F$ est lui-même diagonalisable.