$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : transformation de Laplace

Définition, abscisses de convergence
  • On appelle fonction causale toute fonction nulle sur $]-\infty,0[$ et continue par morceaux sur $[0,+\infty[$.
  • La fonction échelon-unité est la fonction causale $\mathcal U$ définie par $\mathcal U(t)=0$ si $t<0$ et $\mathcal U(t)=1$ si $t\geq 0$.
  • Si $f$ est une fonction causale, la transformée de Laplace de $f$ est définie par $$\mathcal L(f)( p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt$$ pour les valeurs de $p$ pour lesquelles cette intégrale converge.
  • On dit que $f$ est à croissance exponentielle d'ordre $p$ s'il existe $A,B>0$ tels que, $$\forall x\geq A, |f(t)|\leq Be^{pt}.$$
  • On appelle abscisse de convergence de la transformée de Laplace de $f$ l'élément $p_c\in\overline{\mathbb R}$ défini par $$p_c=\inf\{p\in\mathbb R;\ f\textrm{ est à croissance exponentielle d'ordre }p\}.$$
  • Proposition : Si $p>p_c$, alors l'intégrale $\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt$ converge absolument. En particulier, $\mathcal L(f)(p )$ est défini pour tout $p>p_c$.
Propriétés de la transformée de Laplace
  • La transformée de Laplace est linéaire : $$\mathcal L(af+bg)=a\mathcal L(f)+b\mathcal L(g).$$
  • La transformée de Laplace est injective : si $\mathcal L(f)=\mathcal L(g)$ au voisinage de l'infini, alors $f=g$. En particulier, si $F$ est fixée, il existe au plus une fonction $f$ telle que $\mathcal L(f)=F$. $f$ s'appelle l'original de $F$.
  • Effet d'une translation : Soit $a>0$ et $g(t)=f(t-a)$. Alors pour tout $p>p_c$, $$\mathcal L(g)(p )=e^{-ap}\mathcal L(f)(p ).$$
  • Effet de la multiplication par une exponentielle : Si $g(t)=e^{at}f(t)$, avec $a\in\mathbb R$, alors pour tout $p>p_c+a$, $$\mathcal L(g)(p )=\mathcal L(f)( p-a).$$
  • Régularité d'une transformée de Laplace : $\mathcal L(f)$ est de classe $C^\infty$ sur $]p_c,+\infty[$ et pour tout $p>p_c$, $$\mathcal L(f)^{(n)}(p )=\mathcal L( (-t)^n f)(p ).$$
  • Comportement en l'infini : On a $\lim_{p\to+\infty}\mathcal L(f)(p )=0$.
Dérivation et intégration
  • Théorème : Soit $f$ une fonction causale de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$. Alors, pour tout $p>p_c$, $$\mathcal L(f')(p )=p\mathcal L(f)( p)-f(0^+).$$
    On peut itérer ce résultat, et si $f$ est de classe $C^n$ sur $]0,+\infty[$, alors on a $$\mathcal L(f^{(n)}(p )=p^n \mathcal L(f)(p )-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-\dots-f^{(n-1)}(0^+).$$
  • Théorème : Soit $f$ une fonction causale et posons $g(t)=\int_0^t f(x)dx$. Alors, pour tout $p>\max(p_c,0)$, on a $$\mathcal L(g)(p )=\frac 1p\mathcal L(f)(p ).$$
Valeurs initiales et valeurs finales
  • Théorème : Soit $f$ une fonction causale telle que $f$ admette une limite en $+\infty$. Alors $$\lim_{p\to 0}pF(p )=\lim_{t\to+\infty}f(t).$$
  • Théorème : Soit $f$ une fonction causale. Alors $$\lim_{p\to +\infty}pF(p )=f(0^+).$$
Table de transformées de Laplace usuelles
$$\begin{array}{c|c} f(t)&\mathcal L(f)( p) \\  \mathcal U(t)&\frac 1p\\ e^{at}\mathcal U(t),\ a\in\mathbb R&\frac 1{p-a}\\ t^n\mathcal U(t),\ n\in\mathbb N&\frac{n!}{p^{n+1}}\\ t^ne^{at}\mathcal U(t),\ n\in\mathbb N,\ a\in\mathbb R&\frac{n!}{(p-a)^{n+1}}\\ \sin(\omega t)\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{\omega}{p^2+\omega^2}\\ \cos(\omega t)\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{p}{p^2+\omega^2}\\ \sin(\omega t)e^{at}\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{\omega}{(p-a)^2+\omega^2}\\ \cos(\omega t)e^{at}\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{p-a}{(p-a)^2+\omega^2}\\ \mathcal U(t-a)f(t-a),\ a>0&e^{-ap}\mathcal L(f)(p )\\ f(t)e^{at}&\mathcal L(f)(p-a)\\ f(at), a>0&\frac 1a\mathcal L(f)\left(\frac pa\right)\\ f'(t)&p\mathcal L(f)(p )-f(0^+)\\ f^{(n)}(t)&p^n \mathcal L(f)(p )-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-\dots-f^{(n-1)}(0^+)\\ \int_0^t f(u)du&\frac 1p\mathcal L(f)(p ) \end{array}$$