$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Intégrale d'une fonction continue sur un segment

Présentation suivant le programme de Terminale S
  • En Terminale S, on définit la notion d'intégrale d'une fonction continue et positive à l'aide de la notion intuitive d'aire rencontrée au collège. Le plan est rapporté à un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
    Définition : Soit $f$ une fonction continue et positive sur un segment $[a,b]$. Alors on appelle intégrale de $a$ à $b$ de $f$, et on note $\int_a^b f(x)dx$ l'aire (en unités d'aires) du domaine délimité par l'axe des abscisses, les droites $x=a$ et $x=b$, et la courbe $y=f(x)$.
    Cette approche est intuitive, car on a une bonne idée de ce que peut représenter l'aire sous la courbe, mais naïve car à aucun moment on ne justifie que cette aire existe. Le programme recommande de faire un calcul approché d'aire sous la courbe par exemple pour une parabole ($f(x)=x^2$) ou pour une hyperbole ($f(x)=1/x$) à l'aide de la méthode des rectangles. Dans ces cas, on se ramène à calculs que l'on peut faire effectivement. Bien sûr, à un niveau plus élevé, on ne peut se contenter de cette approche intuitive et on définit beaucoup plus précisément ce qu'est l'intégrale de $a$ à $b$ de $f$.
  • Indépendamment de la notion d'intégrale, on peut définir la notion de primitive :
    Définition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$. On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F:I\to\mathbb R$, dérivable sur $I$, et telle que $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$.
    Proposition : Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$ et $F,G$ deux primitives de $f$ sur $I$. Alors il existe un réel $C\in\mathbb R$ tel que, pour tout $x\in I$, $F(x)=G(x)+C$.
    Il ne faut pas confondre les notions d'intégrale et de primitive. Une intégrale est un nombre. Une primitive est une fonction et on peut définir ces deux notions indépendamment l'une de l'autre. Mais un théorème très important fait le lien entre ces deux notions. Il est si important qu'on l'appelle le théorème fondamental du calcul intégral.
    Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a,b]$, alors la fonction $F$ définie sur $[a,b]$ par $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ est dérivable sur $[a,b]$, et a pour dérivée $f$.
    Corollaire : Si $f$ est une fonction continue et positive sur $[a,b]$ et si $G$ est une primitive de $f$, alors $$\int_a^b f(x)dx=G(b)-G(a).$$
    Corollaire : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
  • L'étape suivante est maintenant de définir l'intégrale d'une fonction continue qui n'est plus nécessairement positive. On réalise ceci en prenant comme définition de $\int_a^b f(t)dt$ la valeur $F(b)-F(a)$ où $F$ est une primitive de $f$.
    Définition et proposition : Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$ et soit $F$ une primitive de $f$. Alors le réel $F(b)-F(a)$ ne dépend pas de la primitive choisie. On l'appelle intégrale de $a$ à $b$ de $f$, et on le note $\int_a^b f(t)dt$.
    A l'aide de cette définition, on peut démontrer les propriétés fondamentales de l'intégrale, comme
    Proposition (relation de Chasles) : Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, et $c\in[a,b]$. Alors $$\int_a^b f(t)dt=\int_a^c f(t)dt+\int_c^b f(t)dt.$$
    Proposition (linéarité de l'intégrale) Soit $f,g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$ et $\lambda\in\mathbb R$. Alors $$\int_a^b\big(f(t)+\lambda g(t)\big)dt=\int_a^b f(t)dt+\lambda \int_a^b g(t)dt.$$
    Proposition (positivité de l'intégrale) : Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$, avec $f\geq 0$. Alors $$\int_a^b f(t)dt\geq 0.$$
Au-delà du lycée

Dans le supérieur, on définit précisément la notion d'intégrale de toute fonction continue (par morceaux) à l'aide de l'approximation par des fonctions en escalier. Ceci permet, outre les résultats déjà énoncés, d'obtenir également les propositions et théorèmes suivants :

  • Théorème (sommes de Riemann) : Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb R$. Alors $$\frac {b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}n\right)\to\int_a^b f(t)dt.$$
  • Proposition : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
  • Proposition (inégalité de Cauchy-Schwarz) : Soit $f,g$ deux fonctions continues sur $[a,b]$. Alors $$\left|\int_a^b f(t)g(t)dt\right|\leq\left(\int_a^b f^2(t)dt\right)^{1/2}\left(\int_a^b g^2(t)dt\right)^{1/2}$$ avec égalité si et seulement si la famille $(f,g)$ est liée.
    Par ailleurs, le théorème fondamental du calcul intégral s'énonce alors
  • Théorème (théorème fondamental du calcul intégral) : Si $f$ est une fonction continue sur $[a,b]$, alors la fonction $F$ définie sur $[a,b]$ par $F(x)=\int_a^x f(t)dt$ est dérivable sur $[a,b]$, et a pour dérivée $f$.
Intégration par parties et changement de variables
  • Théorème : Soient $u,v:I\to\mathbb C$ deux fonctions de classe $C^1$. Alors pour tous $a,b$ dans $I$, on a $$\int_a^b u'(t)v(t)dt=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u(t)v'(t)dt.$$
  • Théorème : Soit $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ sur $I$. Alors si $f$ est continue sur $\varphi(I)$, pour tout $a,b\in I$, on a $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx=\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.$$
Formules de Taylor
  • Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$f(b)=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(t)+\int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$
  • Inégalité de Taylor-Lagrange : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$\left| f(b)-\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)\right|\leq M_{n+1}\frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}$$ avec $M_{n+1}=\sup_{[a,b]}|f^{n+1}|$.