$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonctions continues

Limites de fonctions
  • Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction, $a$ un point de $I$ ou une extrémité de $I$, et $\ell\in\mathbb R$. On dit que $f$ tend vers $\ell$ en $a$ si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta\implies |f(x)-\ell|<\veps.$$
  • Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction, $a$ une extrémité de $I$. On dit que $f$ tend vers $+\infty$ en $a$ si $$\forall A>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta\implies f(x)>A.$$
  • Soit $f:[a,+\infty[\to\mathbb R$ et $\ell\in\mathbb R$. On dit que $f$ tend vers $\ell$ en $+\infty$ si $$\forall\veps>0,\ \exists A>0,\ \forall x\in [a,+\infty[,\ x\geq A\implies |f(x)-\ell|<\veps.$$
  • Proposition : Si $f$ est définie en $a$ et admet une limite en $a$, alors $f(a)=\lim_{x\to a}f(x).$
  • Soit $f:I\to\mathbb R$ et $a\in I$. On dit que $f$ admet $\ell\in\mathbb R$ comme limite à droite en $a$ si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ a\leq x<a+\eta\implies |f(x)-\ell|<\veps.$$
  • Soit $f:I\to\mathbb R$ et $a\in I$. On dit que $f$ admet $\ell\in\mathbb R$ comme limite à gauche en $a$ si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ a-\eta<x\leq a\implies |f(x)-\ell|<\veps.$$
  • Proposition : Soit $f:I\to\mathbb R$ et $a$ un point à l'intérieur de $I$. Alors $f$ admet une limite en $a$ si et seulement si $f$ admet une limite à droite et une limite à gauche en $a$.
  • Théorème (caractérisation séquentielle de la limite) : $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ qui converge vers $a$, alors $(f(x_n))$ converge vers $\ell$.
  • Toutes les opérations usuelles sur les limites (somme, produit, quotients), valables pour les suites, se transposent avec une preuve identique pour les fonctions.
  • Proposition (composition des limites) : Si $f:I\to J$ et $g:J\to\mathbb R$ sont telles que $\lim_{x\to a}f(x)=b$ et $\lim_{y\to b}g(y)=\ell$, alors $\lim_{x\to a}g\circ f(x)=\ell$.
  • Théorème (encadrement) : Si $f,u,v:I\to\mathbb R$ sont trois fonctions telles que, pour tout $x\in I$, $u(x)\leq f(x)\leq v(x)$, si $\lim_{x\to a}u(x)=\lim_{x\to a}v(x)=\ell$, alors $\lim_{x\to a}f(x)=\ell$.
  • Proposition (passage à la limite dans une inégalité) : Soient $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions admettant des limites finies en $a$. Si pour tout $x\in I$, $f(x)\leq g(x)$, alors $\lim_{x\to a}f(x)\leq \lim_{x\to a}g(x)$.
  • Théorème (limite monotone) : Soit $f:[a,b[\to\mathbb R$ une fonction croissante et majorée. Alors $f$ admet une limite (à gauche) en $b$.
Continuité
Soit $f:I\to\mathbb R$ une fonction et $a\in I$.
  • On dit que $f$ est continue en $a$ si $f$ admet pour limite $f(a)$ en $a$ : $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall x\in I,\ |x-a|<\eta\implies |f(x)-f(a)|<\veps.$$
  • Théorème (caractérisation séquentielle de la limite) : $f$ admet pour limite $\ell$ en $a$ si et seulement si, pour toute suite $(x_n)$ qui converge vers $a$, alors $(f(x_n))$ converge vers $f(a)$.
  • On parle de continuité à droite ou de continuité à gauche lorsqu'on utilise les notions de limite à droite et de limite à gauche.
  • On dit que $f$ est continue sur $I$ si $f$ est continue en tout point de $I$.
  • Toute combinaison linéaire, tout produit, toute composée, tout quotient dont le dénominateur ne s'annule pas de fonctions continues est une fonction continue.
Grands théorèmes sur la continuité
  • Théorème des valeurs intermédiaires : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Soit $\gamma\in \mathbb R$ tel que $\gamma$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $f(c)=\gamma$.
  • En particulier, l'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
  • Théorème (image d'un segment) : Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ est continue, alors $f$ est bornée et atteint ses bornes.
  • En particulier, l'image d'un segment par une application continue est un segment.
Dichotomie

L'algorithme de dichotomie permet de déterminer une valeur approchée d'une solution de l'équation $f(x)=0$. Considérons $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que $f(a)f(b)<0$. Ceci signifie que $f(a)$ et $f(b)$ sont de signes opposés, et par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une solution à $f(x)=0$ dans l'intervalle $[a,b]$. Considérons maintenant le milieu de $[a,b]$, le point $c=(a+b)/2$. Alors

  • si $f(a)f(c)<0$, $f(a)$ et $f(c)$ sont de signes opposés, et donc il y a une solution à l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle $[a,c]$;
  • sinon, c'est $f(c)$ et $f(b)$ qui sont de signes opposés, et donc il y a une solution à l'équation $f(x)=0$ dans l'intervalle $[c,b]$.

Dans les deux cas, on a réduit l'intervalle $[a,b]$ de départ en un intervalle deux fois plus petit. On peut alors réitérer l'opération. Voici le fonctionnement de l'algorithme de dichotomie sur la fonction $f(x)=x^3-3x+1$.

L'algorithme implémentant la méthode de dichotomie sous Python, avec précision fixée, s'écrit simplement :

def dichotomie(a,b,prec):
while b-a>prec:
c = (a+b)/2
if f(a)*f(c) <= 0:
b = c
else:
a = c
return a,b
Continuité, monotonie et injectivité
  • Théorème : Soit $I$ un intervalle et $f:I\to\mathbb R$ continue. Alors $f$ est injective si et seulement si $f$ est strictement monotone.
  • Théorème : Soit $I$ un intervalle et $f:I\to J$ une bijection continue. Alors la fonction réciproque $f^{-1}$ est continue.
Fonctions uniformément continues
  • Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est uniformément continue si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall (x,y)\in I^2,\ |x-y|<\eta\implies |f(x)-f(y)|<\veps.$$
  • Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est uniformément continue.
  • La figure suivante illustre pourquoi la fonction $x\mapsto x^2$ n'est pas uniformément continue sur $[0,+\infty[$. Un $\veps>0$ étant fixé, il faudrait que l'on trouve un écart $\eta>0$ tel que, quelque soit le choix de $a$ dans $[0,+\infty[$, dès que $|x-a|<\eta$, on a $|x^2-a^2|<\veps$. Dans la figure suivante, le choix optimal (=le plus grand possible) de $\eta$ pour un certain $a$ est fait. Lorsque $a$ tend vers $+\infty$, on voit que la valeur de $\eta$ doit tendre vers 0. On ne peut pas choisir le même $\eta$ pour tous les $a$.
  • Au contraire, la fonction $x\mapsto \sqrt x$ est uniformément continue. Même lorsqu'on fait varier $a$, le meilleur $\eta$ ne devient pas trop petit.