$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Analyse asymptotique

Relations de domination, de négligeabilité, d'équivalence
  Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels. On supposera que $(v_n)$ ne s'annule pas à partir d'un certain rang.
  • On dit que $(u_n)$ est dominée par $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ est bornée. Autrement dit, s'il existe un réel $M$ et un entier $n_0$ tel que, pour tout $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq M|v_n|$. On note $$u_n=O(v_n).$$
  • On dit que $(u_n)$ est négligeable devant $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 0. On note $$u_n=o(v_n).$$
  • On dit que $(u_n)$ est équivalente à $(v_n)$ si la suite $\displaystyle \left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ tend vers 1. On note $$u_n\sim v_n.$$
  • On a $u_n\sim v_n$ si et seulement si $u_n-v_n=o(v_n)$ si et seulement si $u_n-v_n=o(u_n)$.
  • Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors elles ont le même signe à partir d'un certain rang.
  • Si deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont équivalentes, alors l'une converge si et seulement si l'autre converge. Dans ce cas, leurs limites sont égales.
  • Règles de calcul pour les équivalents : Soient $(u_n)$, $(v_n)$, $(x_n)$ et $(w_n)$ quatre suites :
    • si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $u_nx_n\sim v_ny_n$.
    • si $u_n\sim v_n$ et $x_n\sim y_n$, alors $\frac{u_n}{x_n}\sim \frac{v_n}{y_n}$.
    • si $u_n\sim v_n$ et $p\in\mathbb Z$, alors $u_n^p\sim v_n^p$.
    Attention! En général, on ne peut pas ajouter des équivalents!
  • Règles de calcul pour la relation de négligeabilité : Soient $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ trois suites :
    • si $u_n=o(w_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $\alpha u_n+\beta v_n=o(w_n)$.
    • si $u_n=o(v_n)$ et $v_n=o(w_n)$, alors $u_n=o(w_n)$.
    • si $u_n=o(w_n)$, alors $u_nv_n=o(w_nv_n)$.
Relation de domination, de négligeabilité, d'équivalence : cas des fonctions
  Soient $f,g:I\to\mathbb R$ et soit $a\in \overline I$ (éventuellement, $a=\pm \infty$). On suppose qu'il existe un intervalle ouvert contenant $a$ tel que $g$ ne s'annule pas.
  • On dit que $f$ est dominée par $g$ au voisinage de $a$ s'il existe un intervalle ouvert $J$ contenant $a$ ($J$ est de la forme $]A,+\infty[$ si $a=+\infty$) et un réel $M>0$ telle que $$\forall x\in J,\ \left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|\leq M.$$ On note $$f=_aO(g).$$
  • On dit que $f$ est négligeable devant $g$ si la fonction $\displaystyle \frac fg$ tend vers 0 en a. On note $$f=_ao(g).$$
  • On dit que $f$ est équivalente à $g$ si la fonction $\displaystyle \frac fg$ tend vers 1 en $a$. On note $$f\sim_a g.$$
  Toutes les propriétés valables pour les suites le restent pour les fonctions.
Développements limités

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$, à valeurs dans $\mathbb C$, et $a$ est un point de $I$.

  • On dit que $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ s'il existe des complexes $a_0,\dots,a_n$ tels que $$f(a+h)=a_0+a_1h+\dots+a_n h^n+o(h^n).$$
  • Unicité : Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$, celui-ci est unique.
  • Existence :
    Formule de Taylor-Young : Si $f$ est de classe $C^n$, alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en tout point $a\in I$ donné par $$f(a+h)=f(a)+f'(a) h+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$
Opérations sur les développements limités
  • Somme : Soient $f$ et $g$ admettant en $a$ des développements limités à l'ordre $n$ donnés par $$f(a+h)=P(h)+o(h),\quad g(a+h)=Q(h)+o(h^n).$$ Alors $f+g$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$ donné par $$(f+g)(a+h)=\big(P(h)+Q(h)\big)+o(h^n).$$
  • Produit : Soient $f$ et $g$ admettant en $a$ des développements limités à l'ordre $n$ donnés par $$f(a+h)=P(h)+o(h),\quad g(a+h)=Q(h)+o(h^n).$$ Alors $fg$ admet un développement limité en $a$ à l'ordre $n$ donné par $$(f+g)(a+h)=R(h)+o(h^n)$$ où $R$ est le polynôme obtenu en ne gardant dans le produit $PQ$ que les termes de degré inférieur ou égal à $n$.
  • Intégration : Si $f$, continue sur $I$, admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ donné par $$f(a+h)=a_0+a_1h+\dots+a_n h^n+o(h^n)$$ et si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $F$ admet un développement limité à l'ordre $n+1$ en $a$ donné par $$F(a+h)=F(0)+a_0h+\frac{a_1}2h^2+\dots+\frac{a_n}{n+1}h^{n+1}+o(h^{n+1}).$$
Développements limités usuels
\begin{eqnarray*} e^x&=&1+x+\frac{x^2}2+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)\\ \cos x&=&1-\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\ \sin x&=&x-\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\ \cosh x&=&1+\frac{x^2}{2!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})\\ \sinh x&=&x+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{ x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})\\ \frac{1}{1-x}&=&1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n)\\ \ln(1+x)&=&x-\frac{x^2}2+\dots+\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n+o(x^n)\\ \arctan(x)&=&x-\frac{x^3}3+\dots+\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+o(x^{2n+1})\\ (1+x)^\alpha&=&1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}2x^2+\dots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)\\ \tan(x)&=&x+\frac{x^3}2+\frac{2}{15}x^5+o(x^5). \end{eqnarray*}