$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : transformation de Laplace

Définition, abscisses de convergence
  • On appelle fonction causale toute fonction définie sur $\mathbb R$, nulle sur $]-\infty,0[$ et continue par morceaux sur $[0,+\infty[$.
  • La fonction échelon-unité est la fonction causale $\mathcal U$ définie par $\mathcal U(t)=0$ si $t<0$ et $\mathcal U(t)=1$ si $t\geq 0$. En particulier, si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ est une fonctions quelconque, la fonction $f\times\mathcal U$ est une fonction causale.
  • Si $f$ est une fonction causale, la transformée de Laplace de $f$ est définie par $$\mathcal L(f)( p)=\int_0^{+\infty}e^{-pt}f(t)dt=\lim_{x\to+\infty}\int_0^x e^{-pt}f(t)dt,$$ pour les valeurs de $p$ pour lesquelles cette intégrale converge.
  • Si $f$ est une fonction causale qui vérifie, pour tout $x\geq 0$, $$|f(x)|\leq Me^{ax},$$ alors la transformée de Laplace $\mathcal L(f)(p )$ existe pour tout $p>a$.
Propriétés de la transformée de Laplace
  • La transformée de Laplace est linéaire : $$\mathcal L(af+bg)=a\mathcal L(f)+b\mathcal L(g).$$
  • Si $\mathcal L(f)=\mathcal L(g)$, alors $f=g$. En particulier, si $F$ est fixée, il existe au plus une fonction $f$ telle que $\mathcal L(f)=F$. $f$ s'appelle l'original de $F$.
  • Effet d'une translation : Soit $a>0$ et $g(t)=f(t-a)$. Alors, $$\mathcal L(g)(p )=e^{-ap}\mathcal L(f)(p ).$$
  • Effet de la multiplication par une exponentielle : Si $g(t)=e^{at}f(t)$, avec $a\in\mathbb R$, alors $$\mathcal L(g)(p )=\mathcal L(f)( p-a).$$
Dérivation et intégration
  • Théorème : Soit $f$ une fonction causale dérivable sur $]0,+\infty[$. Alors, pour tout $p$ pour lequel les deux membres ont un sens, $$\mathcal L(f')(p )=p\mathcal L(f)( p)-f(0^+).$$
    On peut itérer ce résultat, et si $f$ est $n$ fois dérivable sur $]0,+\infty[$, alors on a $$\mathcal L(f^{(n)}(p )=p^n \mathcal L(f)(p )-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-\dots-f^{(n-1)}(0^+).$$
  • Théorème : Soit $f$ une fonction causale et posons $g(t)=\int_0^t f(x)dx$. Alors, pour tout $p>0$ pour lequel les deux membres ont un sens, $$\mathcal L(g)(p )=\frac 1p\mathcal L(f)(p ).$$
Valeurs initiales et valeurs finales
  • Théorème : Soit $f$ une fonction causale telle que $f$ admette une limite en $+\infty$. Alors $$\lim_{p\to 0}pF(p )=\lim_{t\to+\infty}f(t).$$
  • Théorème : Soit $f$ une fonction causale. Alors $$\lim_{p\to +\infty}pF(p )=f(0^+).$$
Table de transformées de Laplace usuelles
$$\begin{array}{c|c} f(t)&\mathcal L(f)( p) \\  \mathcal U(t)&\frac 1p\\ e^{at}\mathcal U(t),\ a\in\mathbb R&\frac 1{p-a}\\ t^n\mathcal U(t),\ n\in\mathbb N&\frac{n!}{p^{n+1}}\\ t^ne^{at}\mathcal U(t),\ n\in\mathbb N,\ a\in\mathbb R&\frac{n!}{(p-a)^{n+1}}\\ \sin(\omega t)\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{\omega}{p^2+\omega^2}\\ \cos(\omega t)\mathcal U(t),\ \omega\in\mathbb R&\frac{p}{p^2+\omega^2}\\ \mathcal U(t-a)f(t-a),\ a>0&e^{-ap}\mathcal L(f)(p )\\ f(t)e^{at}&\mathcal L(f)(p-a)\\ f(at), a>0&\frac 1a\mathcal L(f)\left(\frac pa\right)\\ f'(t)&p\mathcal L(f)(p )-f(0^+)\\ f^{(n)}(t)&p^n \mathcal L(f)(p )-p^{n-1}f(0^+)-p^{n-2}f'(0^+)-\dots-f^{(n-1)}(0^+)\\ \int_0^t f(u)du&\frac 1p\mathcal L(f)(p ) \end{array}$$