$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Variables aléatoires

Moments, fonctions de répartition
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire admettant un moment d'ordre 2. Démontrer que $E\big((X-a)^2\big)$ est minimal pour $a=E(X)$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Variable aléatoire quasi-certaine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'une variable aléatoire réelle $X$ est quasi-certaine lorsqu'il existe un réel $a$ tel que $P(X=a)=1$. Soit $X$ une variable aléatoire réelle telle que $X(\Omega)$ soit fini ou dénombrable. Démontrer que $X$ est quasi-certaine si et seulement si $V(X)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle et soit $M\subset\mathbb R$ tel que, tout $x\in M$, $P(X=x)>0$. Démontrer que $M$ est fini ou dénombrable.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Une variable aléatoire de fonction de répartition donnée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $F:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction croissante, continue à droite, vérifiant $\lim_{-\infty}F=0$ et $\lim_{+\infty}F=1$. On veut démontrer qu'il existe une variable aléatoire $X$ dont $F$ est la fonction de répartition. Pour $u\in]0,1[$, on pose $$G(u)=\inf\{x\in\mathbb R;\ F(x)\geq u\}.$$
  1. Vérifier que $G$ est bien définie.
  2. Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$ et tout $u\in]0,1[$, $F(x)\geq u\iff x\geq G(u)$.
  3. Soit $U$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$. Quelle est la fonction de répartition de $G(U)$?
Indication
Corrigé
Inégalités, estimation
Enoncé
On jette 3600 fois un dé équilibré. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 1 soit compris entre 480 et 720.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $X_n/n$ approche $p$.
  1. Quelle est la loi de $X_n$? Sa moyenne? Sa variance?
  2. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $P\left(\left|\frac{X_n}n-p\right|\geq\veps\right)\leq\frac 1{4n\veps^2}.$
  3. En déduire une condition sur $n$ pour que $X_n/n$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Majoration de probabilités et loi géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ un entier naturel et $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique $\mathcal G(1/n)$.
  1. Montrer que $P(X\geq n^2)\leq \frac 1n$.
  2. Montrer que $P(|X-n|\geq n)\leq 1-\frac 1n$. En déduire que $P(X\geq 2n)\leq 1-\frac 1n$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Une variante de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle. On suppose que $X$ admet une espérance $E(X)=m$ et une variance $V(X)=\sigma^2$. On fixe $\alpha>0$.
  1. Soit $\lambda\geq 0$. Démontrer que $P(X-m\geq \alpha)=P(X-m+\lambda\geq \alpha+\lambda)$.
  2. Vérifier que $E((X-m+\lambda)^2)=\sigma^2+\lambda^2$.
  3. Montrer que, pour tout $\lambda>0$, $P(X-m\geq\alpha)\leq\frac{\sigma^2+\lambda^2}{\alpha^2+\lambda^2+2\lambda \alpha}$.
  4. En déduire que $P(X-m\geq\alpha)\leq \frac{\sigma^2}{\alpha^2+\sigma^2}.$
  5. Démontrer que $P(|X-m|\geq \alpha)\leq \frac{2\sigma^2}{\alpha^2+\sigma^2}.$ Quand obtient-on une meilleure inégalité que l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev?
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans cet exercice, $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ désigne un espace de probabilité, et $X,Y,(X_i)_{i\geq 1}$ des variables aléatoires définies sur $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$.
  1. Soit $\lambda>0$. On suppose que $\mathbb E(\exp(\lambda Y))$ est finie. Démontrer que, pour tout $a\in\mathbb R$, $$\mathbb P(Y\geq a)\leq e^{-\lambda a}\mathbb E\big(e^{\lambda Y}\big).$$
  2. En déduire que $$\mathbb P(|Y|\geq a)\leq e^{-\lambda a}\mathbb E\big(e^{\lambda Y}\big)+e^{-\lambda a}\mathbb E\big(e^{-\lambda Y}\big).$$
    1. Démontrer que, pour tout $\lambda\geq 0$, on a $$\cosh\lambda\leq\exp\left(\frac{\lambda^2}2\right)$$ (on pourra utiliser des développements en série entière).
    2. Démontrer que si $\lambda\geq 0$ et $x\in[-1,1]$, alors $$\exp(\lambda x)\leq\cosh(\lambda)+x\sinh(\lambda)\leq\exp\left(\frac{\lambda^2}2\right)+x\sinh(\lambda).$$
    3. Démontrer que si la variable aléatoire $X$ prend ses valeurs dans $[-1,1]$ et est centrée (c'est-à-dire si $\mathbb E(X)=0$), alors on a pour tout $\lambda\geq 0$ $$\mathbb E\left(e^{\lambda X}\right)\leq \exp\left(\frac{\lambda^2}2\right)\textrm{ et }\mathbb E\left(e^{-\lambda X}\right)\leq \exp\left(\frac{\lambda^2}2\right).$$
    4. Montrer que si les variables aléatoires indépendantes $X_i$ prennent leurs valeurs dans $[-1,1]$ et sont centrées, alors on a $$\mathbb P\left(\left|n^{-1/2}\sum_{i=1}^n X_i\right|\geq a\right)\leq 2\exp\left(-\frac{a^2}2\right)$$ pour tout $n\geq 1$ et tout $a\geq 0$.
On peut démontrer que le facteur $-1/2$ intervenant dans l'exponentielle est optimal.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Comportement en temps long des marches aléatoires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_k)_{k\geq 1}$ une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes telles que, pour tout $k\in\mathbb N^*$, $P(X_k=1)=P(X_k=-1)=1/2.$ Pour $n$ dans $\mathbb N^*$ on note $S_n=\sum_{k=1}^n X_k$.
  1. Pour $t\in\mathbb R$, calculer $E\left(e^{tS_n}\right)$.
  2. En déduire que, pour $n$ dans $\mathbb N^*$ et $\lambda$ dans $\mathbb R_+$, $$P(|S_n|\geq\lambda)\leq 2\exp\left(\frac{-\lambda^2}{2n}\right)$$ (on pourra utiliser, sans la démontrer, l'inégalité $\cosh(u)\leq\exp(u^2/2)$).
  3. Soit $c>1$. Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on note $A_n$ l'événement $[|S_n|\leq \sqrt{2cn\ln n}]$. Démontrer que $P\left(\liminf_n A_n\right)=1$.
Indication
Corrigé
Fonction génératrice
Exercice 11 - Quand a-t-on une loi discrète infinie? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que les réels $a$ et $k$ sont tels que la suite $(p_n)$ définie, pour $n\geq 0$, par $p_n=\left(\frac a{a+1}\right)^n k$ soit la loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb N$. Donner alors la fonction génératrice d'une telle variable aléatoire.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Somme de deux lois de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètre respectif $\lambda$ et $\mu$. Démontrer, à l'aide des fonctions génératrices, que $Z=X+Y$, suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - La somme de deux dés truqués ne suit jamais la loi uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que toutes les racines (complexes) non-nulles du polynôme $P(X)=X^2+X^3+\dots+X^{12}$ sont simples.
  2. Peut-on truquer un dé de sorte que, en le lançant deux fois de suite, la somme des numéros obtenus suive la loi uniforme sur $\{2,\dots,12\}$?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Fonction génératrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X,Y$ deux variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb N$. On appelle fonction génératrice de $X$ la série entière $$G_X(t)=\sum_{n=0}^{+\infty}P(X=n) t^n.$$
  1. Démontrer que le rayon de convergence de $G_X$ est supérieur ou égal à $1$.
  2. Démontrer que $G_X$ définit une fonction continue sur $[-1,1]$ et $C^\infty$ sur $]-1,1[$.
  3. Démontrer que si $G_X=G_Y$ sur $]-1,1[$, alors $X$ et $Y$ ont même loi.
  4. Calculer $G_X$ lorsque $X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p$, puis lorsque $X$ suit une loi binomiale de paramètres $(n,p)$.
  5. On suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Démontrer que, pour tout $t\in]-1,1[$, on a $$G_{X+Y}(t)=G_X(t)G_Y(t).$$
  6. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $(n,p)$, et $Y$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $(m,p)$. On suppose que $X$ et $Y$ sont indépendantes. Quelle est la loi de $X+Y$? Retrouver ce résultat autrement que par les fonctions génératrices.
Indication
Corrigé
Fonction caractéristique
Exercice 15 - Uniforme continuité de la transformée de Fourier d'une mesure [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mu$ une mesure de probabilité sur $\mathbb R$. Montrer que sa transformée de Fourier est uniformément continue.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Fonction caractéristique périodique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire. On souhaite démontrer que $\phi_X(1)=1$ si et seulement si $P_X(\mathbb R\backslash2\pi \mathbb Z)=0$.
  1. On suppose que $\phi_X(1)=1$. Démontrer que $\int_{\mathbb R}(1-\cos x)dP_X(x)=0$. En déduire que $P_X(\mathbb R\backslash2\pi \mathbb Z)=0$.
  2. Démontrer la réciproque.
  3. Démontrer que ces deux conditions sont aussi équivalentes à $\phi_X$ est $1$-périodique.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Stabilité de la loi par la somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $X,Y$ deux variables aléatoires réelles indépendantes de même loi. On suppose qu'elles possèdent un moment d'ordre 2 et on note $\sigma^2$ leur variance commune. On suppose de plus que $\frac{X+Y}{\sqrt 2}$ a même loi que $X$.
  1. Démontrer que $X$ est d'espérance nulle.
  2. Donner un développement limité à l'ordre 2 de $\phi_X$.
  3. Démontrer que $$\forall n\geq 1,\ \forall t\in\mathbb R,\ \left[\phi_X\left(\frac{t}{2^{n/2}}\right)\right]^{2^n}=\phi_X(t).$$
  4. En déduire que $X$ suit une loi normale dont on précisera les paramètres.
  5. Retrouver ce résultat en appliquant le théorème limite central.
Indication
Corrigé