$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Variables aléatoires discrètes infinies

Calculs de lois, d'espérances, de variances
Enoncé
On lance une pièce de monnaie dont la probabilité de tomber sur pile vaut $p$. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers nécessaires pour obtenir $r$ fois pile. Quelle est la loi de $X$?
Indication
Corrigé
Enoncé
On joue à pile ou face avec une pièce non équilibrée. A chaque lancer, la probabilité d'obtenir pile est 2/3, et donc celle d'obtenir face est 1/3. Les lancers sont supposés indépendants, et on note $X$ la variable aléatoire réelle égale au nombre de lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux piles consécutifs. Pour $n\geq 1$, on note $p_n$ la probabilité $P(X=n)$.
  1. Expliciter les événements $(X=2)$, $(X=3)$, $(X=4)$, et déterminer la valeur de $p_2$, $p_3$, $p_4$.
  2. Montrer que l'on a $p_n=\frac{2}{9}p_{n-2}+\frac{1}{3}p_{n-1}$, $n\geq 4$.
  3. En déduire l'expression de $p_n$ pour tout $n$.
  4. Rappeler, pour $q\in]-1,1[$, l'expression de $\sum_{n=0}^{+\infty}nq^n$, et calculer alors $E(X)$. Interpréter.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Une certaine variable aléatoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p\in]0,1[$. On dispose d'une pièce amenant "pile" avec la probabilité $p$. On lance cette pièce jusqu'à obtenir pour la deuxième fois "pile". Soit $X$ le nombre de "face" obtenus au cours de cette expérience.
  1. Déterminer la loi de $X$.
  2. Montrer que $X$ admet une espérance, et la calculer.
  3. On procède à l'expérience suivante : si $X$ prend la valeur $n$, on place $n+1$ boules numérotées de 0 à $n$ dans une urne, et on tire ensuite une boule de cette urne. On note alors $Y$ le numéro obtenu. Déterminer la loi de $Y$. Calculer l'espérance de $Y$.
  4. On pose $Z=X-Y$. Donner la loi de $Z$ et vérifier que $Z$ et $Y$ sont indépendantes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une rampe verticale de spots nommés de bas en haut $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ change d'état de la manière suivante :
  • à l'instant $t=0$, le spot $S_1$ est allumé.
  • si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_1$ est allumé, alors un (et un seul) des spots $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ s'allume à l'instant $t=n+1$, et ceci de manière équiprobable.
  • si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_k$ ($2\leq k\leq 4$) est allumé, le spot $S_{k-1}$ s'allume à l'instant $t=n+1$.
On pourra remarquer qu'à chaque instant, un et un seul spot est allumé. On note $X$ la variable aléatoire représentant le premier instant (s'il existe) où le spot $S_2$ s'allume.
  1. Écrire un algorithme simulant le fonctionnement de la variable aléatoire $X$. On supposera que l'on dispose d'une fonction ALEA(a,b) qui simule une loi uniforme discrète sur l'ensemble $\{a,a+1,\dots,b\}$.
  2. Calculer la probabilité pour que le spot $S_1$ reste constamment allumé jusqu'à l'instant $n$.
  3. Calculer la probabilité des événements $(X=1)$ et $(X=2)$.
  4. Calculer la probabilité des événements $(X=n)$, pour $n\geq 3$.
  5. Déterminer l'espérance de $X$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Tous les jours, Rémi fait le trajet entre son domicile et son travail. Un jour sur deux, il dépasse la vitesse autorisée. Un jour sur dix, un contrôle radar est effectué. On suppose que ces deux événements (dépassement de la vitesse limite et contrôle radar) sont indépendants, et que leur survenue un jour donné ne dépend pas de ce qui se passe les autres jours. Si le radar enregistre son excès de vitesse, Rémi perd un point sur son permis de conduite. On note $X_i$ le nombre de points perdus le jour $i$.
  1. Question préliminaire : soit $x\in ]-1,1[$ et $r\in\mathbb N$. Justifier que $$\sum_{n\geq r}n(n-1)\cdots (n-r+1)x^{n-r}=\frac{r!}{(1-x)^{r+1}}.$$
  2. Pour tout $n\geq 1$, on note $S_n=\sum_{i=1}^n X_i$. Que représente $S_n$? Donner sa loi, son espérance, sa variance.
  3. En tant que jeune conducteur, Rémi ne dispose que de 6 points sur son permis. On note $T$ le nombre de jours de validité de son permis dans le cas où celui-ci lui est retiré. Sinon, on définit $T=0$. Quelle est la loi de $T$? Son espérance?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Loi binomiale négative [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance une pièce de monnaie dont la probabilité d'obtenir pile est égale à $p$. On suppose que les lancers sont indépendants les uns des autres. Soit $r\geq 1$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de faces obtenues avant le $r$-ième pile. Quelle est la loi de $X$?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Tirages de boules dans une urne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire indiscernables au toucher. On répète un certain nombre de fois le protocole suivant : on tire au hasard une boule dans l'urne. Si elle est blanche, on arrête. Si elle est noire, on la remet dans l'urne, et on ajoute une boule blanche. On note $Y$ la variable aléatoire correspondant au rang du tirage d'une boule blanche. On convient que $Y=0$ si les tirages n'amènent jamais une boule blanche.
  1. Dans cette question uniquement, on suppose que l'on réalise au plus trois tirages.
    1. Modéliser cette expérience aléatoire à l'aide d'un arbre de probabilités.
    2. Déterminer la loi de probabilité de $Y$.
  2. On suppose désormais, et jusqu'à la fin de l'exercice, qu'on répète les tirages jusqu'à obtention d'une boule blanche. Quelles sont les valeurs prises par $Y$?
  3. Écrire un algorithme qui simule la variable aléatoire $Y$.
  4. On note $A_k$ l'événement "la $k$-ième boule tirée est noire". Exprimer l'événement $"Y=k"$ en fonction des événements $A_1,\dots,A_k$.
  5. Pour $j\geq 2$, calculer $P(A_j|A_1\cap \dots\cap A_{j-1})$ et $P(\overline{A_j}|A_1\cap \dots\cap A_{j-1})$.
  6. En déduire, pour $k\geq 1$, la valeur de $P(Y=k)$.
  7. Justifier la convergence de la série $\sum_{k\geq 1}\frac k{(k+1)!}$, puis démontrer que $\sum_{k\geq 1}\frac k{(k+1)!}=1$.
  8. Quelle est la probabilité pour que l'on ne tire jamais de boule blanche?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Tirage dans une urne jusqu'à obtention d'une boule blanche [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient $b$ boules blanches et $r$ boules rouges indiscernables au toucher ($r$ et $b$ sont deux entiers naturels dont au moins un est non nul). On tire au hasard une boule dans l'urne. Si elle est blanche, on arrête. Si elle est rouge, on la remplace dans l'urne par une boule blanche, et on répète le protocole de tirage jusqu'à obtention d'une boule blanche. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
  1. On suppose dans cette question seulement que $b=2$ et $r=3$.
    1. Modéliser cette expérience à l'aide d'un arbre pondéré.
    2. Quelles sont les valeurs prises par $X$?
    3. Déterminer la loi de probabilité de $X$ et son espérance $E(X)$. Interpréter la valeur de $E(X)$.
    1. L'algorithme suivant utilise une fonction ALEA(1,n) qui rend un nombre entier aléatoire obtenu de façon équiprobable dans l'ensemble $\{1,\dots,n\}$.


      Entrer (b,r)
      d<-alea(1,b+r)
      Si (d>b) alors
        résultat<-rouge
        b<-b+1
        r<-r-1
      Sinon
        résultat<-blanche
      Fin Si
      Retourner résultat

      Que simule cet algorithme?

    2. Compléter cet algorithme en un nouvel algorithme simulant la variable aléatoire $X$.
    1. On se place désormais dans le cas général, et on note pour tout entier $n$ strictement positif $A_n$ l'événement "la $n$-ième boule tirée est rouge". Donner l'ensemble $E$ des valeurs prises par $X$ et, pour $k\in E$, exprimer l'événement $X=k$ en fonction d'événements liés aux événements $A_1,\dots,A_k$.
    2. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
Corrigé
Loi de Poisson
Exercice 9 - Décroissance d'une loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ pour que la suite $(P(X=k))$ soit décroissante.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Maximum d'une loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$. Pour quelle(s) valeur(s) de $k\in\mathbb N$ la probabilité $P(X=k)$ est maximale?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Variable aléatoire inverse d'une loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda>0$. Calculer l'espérance de la variable aléatoire $\frac1{1+X}$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Retrouver une loi connaissant son conditionnement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires. On suppose que $X$ suit une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$ et que la loi de $Y$ conditionnée par $(X=n)$ est la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, pour tout $n\in\mathbb N$. Quelle est la loi de $Y$?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère une entreprise de construction produisant des objets sur deux chaines de montage $A$ et $B$ qui fonctionnent indépendemment l'une de l'autre. Pour une chaine donnée, les fabrications des pièces sont indépendantes. On suppose que $A$ produit $60\%$ des objets et $B$ produit $40\%$ des objets. La probabilité qu'un objet construit par la chaine $A$ soit défectueux est $0.1$ alors que la probabilité pour qu'un objet construit par la chaine $B$ soit défectueux est $0.2$.
  1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l'entreprise. On constate que cet objet est défectueux. Calculer la probabilité de l'événement "l'objet provient de la chaine A" .
  2. On suppose de plus que le nombre d'objets produits en une heure par $A $ est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda =20.$ On considère la variable aléatoire $X$ représentant le nombre d'objets défectueux produits par la chaine $A$ en une heure.
    1. Rappeler la loi de $Y$ ainsi que la valeur de l'espérance et de la variance de $Y$.
    2. Soient $k$ et $n$ deux entiers naturels, déterminer la probabilité conditionnelle $P\left( X=k|Y=n\right) $. (On distinguera les cas $k\le n$ et $k>n$).
    3. En déduire, en utilisant le système complet d'événements $\left( Y=i\right) _{i\in \Bbb{N}},$ que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre 2 .
Indication
Corrigé
Enoncé
Un insecte pond des oeufs. Le nombre d'oeufs pondus est une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$. Chaque oeuf a une probabilité $p$ d’éclore, indépendante des autres oeufs. Soit $Z$ le nombre d’oeufs qui ont éclos.
  1. Pour $(k,n)\in\mathbb N^2$, calculer $P(Z=k|X=n)$.
  2. En déduire la loi de $Z$?
  3. Quelle est l'espérance de $Z$?
Corrigé
Exercice 15 - Tirage et loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On tire un nombre entier naturel $X$ au hasard, et on suppose que $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $a>0$. Si $X$ est impair, Pierre gagne et reçoit $X$ euros de Paul. Si $X$ est pair supérieur ou égal à 2, Paul gagne et reçoit $X$ euros de Pierre. Si $X=0$, la partie est nulle. On note $p$ la probabilité que Pierre gagne et $q$ la probabilité que Paul gagne.
  1. En calculant $p+q$ et $p-q$, déterminer la valeur de $p$ et de $q$.
  2. Déterminer l'espérance des gains de chacun.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Somme de deux variables aléatoires suivant une loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètre respectif $\lambda$ et $\mu$. Démontrer que $Z=X+Y$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Somme de deux lois de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètre respectif $\lambda$ et $\mu$. Démontrer, à l'aide des fonctions génératrices, que $Z=X+Y$, suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.
Indication
Corrigé
Loi géométrique
Enoncé
On possède une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité d'obtenir pile soit 0,3.
  1. On lance 10 fois la pièce. Quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois pile?
  2. On lance la pièce jusqu'à ce que l'on obtienne pile pour la première fois. Combien effectuera-t-on en moyenne de lancers?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Simuler la loi géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance une pièce de monnaie truquée de sorte que la probabilité d'obtenir pile soit égale à $p$. On répète cette expérience de façon indépendante et on note $X$ la variable aléatoire égale au numéro du premier tirage pour lequel on obtient pile.
  1. Écrire un algorithme qui simule cette variable aléatoire.
  2. Modifier l'algorithme précédent de sorte qu'il permette d'obtenir une valeur approchée de l'espérance de cette variable aléatoire.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Variable aléatoire discrète sans mémoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $Y$ une variable aléatoire discrète à valeurs dans $\mathbb N$. On dit que $Y$ est sans mémoire si, pour tous $n,m\in\mathbb N$, $$P(Y>n)>0\textrm{ et } P_{(Y>n)}(Y>n+m)=P(Y>m).$$
  1. On suppose que $Y$ suit une loi géométrique. Démontrer que $Y$ est sans mémoire. Interpréter ce résultat en considérant une suite d'épreuves répétées.
  2. Réciproquement, on suppose que $Y$ est sans mémoire. Démontrer que $P(Y>0)=1$ et qu'il existe $p\in\mathbb ]0,1[$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $P(Y>n)=(1-p)^n$.
  3. En déduire que $Y$ suit une loi géométrique.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes qui suivent une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$. Soit $$A=\left(\begin{array}{cc} X_1&1\\0&X_2\end{array}\right).$$ Quelle est la probabilité que $A$ soit diagonalisable?
Indication
Corrigé
Enoncé
Trois joueurs lancent, chacun leur tour, un dé, puis recommencent dans le même ordre, jusqu'à ce qu'un joueur amène un 6. La partie s'arrête alors, le joueur qui a amené un 6 a gagné. Le dé est truque et la probabilité d'obtenir 6 est $p$, avec $0 < p < 1$. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de lancers effectués lors de la partie.
  1. Quelle est la loi de $X$?
  2. En déduire la probabilité de gagner de chacun des joueurs.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Deux joueurs jouent aux dés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Deux joueurs lancent, chacun leur tour, un dé, puis recommencent dans le même ordre, jusqu'à ce qu'un joueur obtienne un 6. La partie s'arrête alors et le joueur qui a obtenu un 6 a gagné. Le dé est truqué et la probabilité qu'il tombe sur 6 vaut $p$, avec $0 < p < 1$. On cherche à calculer la probabilité de gagner de chacun des joueurs. On note $G_1$ l'évènement ``le joueur 1 gagne'' et $G_2$ l'évènement ``le joueur 2 gagne''.
  1. Montrer que $P(G_2)=(1-p)P(G_1)$.
  2. En déduire $P(G_1)$ et $P(G_2)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Le service de dépannage d'un grand magasin dispose d'équipes intervenant sur appel de la clientèle. Pour des causes diverses, les interventions ont parfois lieu avec retard. On admet que les appels se produisent indépendamment les uns des autres, et que, pour chaque appel, la probabilité d'un retard est de 0,25.
  1. Un client appelle le service à 4 reprises. On désigne par $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de fois où ce client a dû subir un retard.
    1. Déterminer la loi de probabilité de $X$, son espérance, sa variance.
    2. Calculer la probabilité de l'événement : "Le client a au moins subi un retard".
  2. Le nombre d'appels reçus par jour est une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $m$. On note $Z$ le nombre d'appels traités en retard.
    1. Exprimer la probabilité conditionnelle de $Z=k$ sachant que $Y=n$.
    2. En déduire la probabilité de $"Z=k\textrm{ et }Y=n"$.
    3. Déterminer la loi de $Z$. On trouvera que $Z$ suit une loi de Poisson de paramètre $m\times0,25$.
  3. En 2020, le standard a reçu une succession d'appels. On note $U$ le premier appel reçu en retard. Quelle est la loi de $U$? Quelle est son espérance?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère une suite de parties indépendantes de pile ou face, la probabilité d'obtenir "pile" à chaque partie étant égale à $p$, où $p\in]0,1[$. Si $n\geq 1$, on note $T_n$ le numéro de l'épreuve amenant le $n-$ième pile. Enfin, on pose $A_1=T_1$ et $A_n=T_n-T_{n-1}$.
  1. Quelle est la loi de $T_1$? Donner la valeur de son espérance.
  2. Soit $n\geq 2$. Montrer que $A_1,\dots,A_n$ sont des variables aléatoires indépendantes qui suivent une même loi.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Loi de Pascal et loi géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance une pièce de monnaie dont la probabilité de tomber sur pile vaut p. On note $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de lancers nécessaires pour obtenir $r$ fois pile.
  1. Quelle est la loi de $X$?
  2. Soit $Y_1,\dots,Y_r$ des variables aléatoires indépendantes suivant une loi géométrique de paramètre $p$. Démontrer que $Y_1+\dots+Y_r$ a la même loi que $X$.
  3. En déduire l'espérance de $X$ et sa variance.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Simulation d'une rangée de spots [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une rampe verticale de spots nommés de bas en haut $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ change d'état de la manière suivante :
  • à l'instant $t=0$, le spot $S_1$ est allumé.
  • si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_1$ est allumé, alors un (et un seul) des spots $S_1,\ S_2,\ S_3,\ S_4$ s'allume à l'instant $t=n+1$, et ceci de manière équiprobable.
  • si, à l'instant $t=n,\ n\geq 0$, le spot $S_k$ ($2\leq k\leq 4$) est allumé, le spot $S_{k-1}$ s'allume à l'instant $t=n+1$.
On pourra remarquer qu'à chaque instant, un et un seul spot est allumé. On note $X$ la variable aléatoire représentant le premier instant (s'il existe) où le spot $S_2$ s'allume. Écrire un algorithme simulant le fonctionnement de la variable aléatoire $X$. On supposera que l'on dispose d'une fonction ALEA(a,b) qui simule une loi uniforme discrète sur l'ensemble $\{a,a+1,\dots,b\}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un concierge rentre d'une soirée. Il dispose de $n\geq 2$ clés dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle.
  1. La soirée a été un peu arrosée, et, après chaque essai, le concierge remet la clé dans le trousseau. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé.
    1. Quelle est la loi de $X$ (on reconnaitra une loi classique)?
    2. Quel est le nombre moyen d'essais pour trouver la bonne clé?
  2. Le concierge est en réalité accompagné de Sam, qui n'a pas bu. Sam élimine donc après chaque essai infructueux la clé qui n'a pas convenu. On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé.
    1. Quelles valeurs peut prendre $Y$?
    2. Déterminer $P(Y=1)$, $P(Y=2)$.
    3. On note $E_i$ l'événement "on fait au moins $i$ essais et le $i$-ème ne convient pas" et $S_i$ l'événement "on fait au moins $i$ essais et le $i$-ème convient". Déterminer, pour $2\leq i\leq n$, les probabilités conditionnelles $$P(E_i | E_1\cap E_2\cap\dots \cap E_{i-1})\textrm{ et }P(S_i| E_1\cap E_2\cap\dots \cap E_{i-1}).$$
    4. En remarquant que l'événement $Y=k$ est égal à $S_k\cap E_{k-1}\cap\dots\cap E_1$, déterminer la loi de $Y$.
    5. Quel est, dans cette situation, le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clé.
Corrigé
Enoncé
Un concierge rentre d'une soirée. Il dispose de $n$ clefs dont une seule ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle.
  1. Il essaie les clefs les unes après les autres en éliminant après chaque essai la clef qui n'a pas convenu. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
  2. En réalité, la soirée était bien arrosée, et après chaque essai, le concierge remet la clef essayée dans le trousseau. Trouver le nombre moyen d'essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Majoration de probabilités et loi géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ un entier naturel et $X$ une variable aléatoire suivant la loi géométrique $\mathcal G(1/n)$.
  1. Montrer que $P(X\geq n^2)\leq \frac 1n$.
  2. Montrer que $P(|X-n|\geq n)\leq 1-\frac 1n$. En déduire que $P(X\geq 2n)\leq 1-\frac 1n$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 31 - Donné par une contrainte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\mathbb N^*$. On suppose qu'il existe $p\in ]0,1[$ tel que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $P(X=n)=pP(X\geq n)$. Déterminer la loi de $X$.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Une autre expression de l'espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mtn$.
    1. Montrer que, pour tout $n\in\mtn^*$, on a : $$\sum_{k=0}^{n}kP(X=k)=\sum_{k=0}^{n-1}P(X>k)-nP(X>n).$$
    2. On suppose que $\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$ converge. Démontrer que $X$ admet une espérance.
    3. Réciproquement, on suppose que $X$ admet une espérance. Démontrer alors que $\big(nP(X>n)\big)_n$ tend vers 0, puis que la série $\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k)$ converge, et enfin que $$E(X)=\sum_{k=0}^{+\infty}P(X>k).$$
  2. Application : on dispose d'une urne contenant $N$ boules indiscernables au toucher numérotées de $1$ à $N$. On effectue, à partir de cette urne, $n$ tirages successifs d'une boule, avec remise, et on note $X$ le plus grand nombre obtenu.
    1. Que vaut $P(X\leq k)$? En déduire la loi de $X$.
    2. A l'aide des questions précédentes, donner la valeur de $E(X)$.
    3. A l'aide d'une somme de Riemann, démontrer que la suite $\left(\frac 1N\sum_{k=0}^{N-1}\left(\frac kN\right)^n\right)_N$ admet une limite (lorsque $N$ tend vers $+\infty$) que l'on déterminera.
    4. En déduire que $\lim_{N\to+\infty}\frac{E(X)}N=\frac{n}{n+1}.$
Corrigé
Master Meef
Exercice 33 - Pour s'entrainer à faire quelques petits calculs simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Calculer l'espérance d'une loi de Poisson de paramètre $\lambda$; sa variance.
  2. Calculer l'espérance d'une loi géométrique de paramètre $p\in ]0,1[$.
Corrigé