$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Variables aléatoires discrètes finies

Calculs de lois, d'espérances, de variances
Enoncé
On considère un dé cubique truqué dont les faces sont numérotés de 1 à 6 et on note $X$ la variable aléatoire donnée par le numéro de la face du dessus. On suppose que le dé est truqué de sorte que la probabilité d'obtenir une face est proportionnelle au numéro inscrit sur cette face.
  1. Déterminer la loi de $X$, calculer son espérance.
  2. On pose $Y=1/X$. Déterminer la loi de $Y$, et son espérance.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - En plein dans le mille! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un joueur tire sur une cible de 10cm de rayon, constituée de couronnes concentriques, délimitées par des cercles de rayons 1,2, ..., 10 cm, et numérotées respectivement de 10 à 1. La probabilité d’atteindre la couronne $k$ est proportionnelle à l’aire de cette couronne, et on suppose que le joueur atteint sa cible à chaque lancer. Soit $X$ la variable aléatoire qui à chaque lancer associe le numéro de la cible.
  1. Quelle est la loi de probabilité de X ?
  2. Le joueur gagne $k$ euros s’il atteint la couronne numérotée $k$ pour $k$ compris entre 6 et 10, tandis qu’il perd 2 euros s’il atteint l’une des couronnes périphériques numérotées de 1 à 5. Le jeu est-il favorable au joueur ?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Plus grand nombre tiré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance deux dés parfaitement équilibrés. On note $X$ le plus grand des numéros obtenus. Déterminer la loi de la variable aléatoire $X$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un garagiste dispose de deux voitures de location. Chacune est utilisable en moyenne 4 jours sur 5. Il loue les voitures avec une marge brute de 300 euros par jour et par voiture. On considère $X$ la variable aléatoire égale au nombre de clients se présentant chaque jour pour louer une voiture. On suppose que $X(\Omega)=\{0,1,2,3\}$ avec $$P(X=0)=0,1\ \ P(X=1)=0,3\ \ P(X=2)=0,4\ \ P(X=3)=0,2.$$
  1. On note $Z$ le nombre de voitures disponibles par jour. Déterminer la loi de $Z$. On pourra considérer dans la suite que $X$ et $Z$ sont indépendantes.
  2. On note $Y$ la variable aléatoire : " nombre de clients satisfaits par jour". Déterminer la loi de $Y$.
  3. Calculer la marge brute moyenne par jour.
Indication
Corrigé
Enoncé
On cherche à dépister une maladie détectable à l'aide d'un examen sanguin. On suppose que dans notre population, il y a une proportion $p$ de personnes qui n'ont pas cette maladie.
  1. On analyse le sang de $r$ personnes de la population, avec $r$ entier au moins égal à 2. On suppose que l'effectif de la population est suffisamment grand pour que le choix de ces $r$ personnes s'apparente à un tirage avec remise. Quelle est la probabilité qu'aucune de ces personnes ne soit atteinte de la maladie?
  2. On regroupe le sang de ces $r$ personnes, puis on procède à l'analyse de sang. Si l'analyse est négative, aucune de ces personnes n'est malade et on arrête. Si l'analyse est positive, on fait toutes les analyses individuelles (on avait pris soin de conserver une partie du sang recueilli avant l'analyse groupée). On note $Y$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'analyses de sang effectuées. Donner la loi de probabilité de $Y$ et calculer son espérance en fonction de $r$ et de $p$.
  3. On s'intéresse à une population de $n$ personnes, et on effectue des analyses collectives après avoir mélangé les prélèvements par groupe de $r$ personnes, où $r$ est un diviseur de $n$. Montrer que le nombre d'analyses que l'on peut espérer économiser, par rapport à la démarche consistant à tester immédiatement toutes les personnes, est égal à $np^r-\frac nr$.
  4. Dans cette question, on suppose que $p=0,9$ et on admet qu'il existe un réel $a>1$ de sorte que la fonction $x\mapsto p^x-\frac{1}x$ est croissante sur $[1,a]$ et décroissante sur $[a,+\infty[$. Écrire un algorithme permettant de déterminer pour quelle valeur de l'entier $r$ le nombre $p^r-\frac 1r$ est maximal.
Indication
Corrigé
Enoncé
Les vaches laitières sont atteintes par une maladie $M$ avec la probabilité $p=0,15$. Pour dépister la maladie $M$ dans une étable de de $n$ vaches, on fait procéder à une analyse de lait. Deux méthodes sont possibles :
  • Première méthode : On fait une analyse sur un échantillon de lait de chaque vache.
  • Deuxième méthode : On effectue d'abord une analyse sur un échantillon de lait provenant du mélange des $n$ vaches. Si le résultat est positif, on effectue une nouvelle analyse, cette fois pour chaque vache.
On voudrait connaître la méthode la plus économique (=celle qui nécessite en moyenne le moins d'analyse). Pour cela, on note $X_n$ la variable aléatoire du nombre d'analyses réalisées dans la deuxième étape. On pose $Y_n=\frac{X_n}{n}.$
  1. Déterminer la loi de $Y_n$, et montrer que son espérance vaut : $1+\frac{1}{n}-(0.85)^n$.
  2. Etudier la fonction $f(x)=ax+\ln x$, pour $a=\ln(0,85)$. Donner la liste des entiers $n$ tels que $f(n)>0$.
  3. Montrer que $f(n)>0$ équivaut à $E(Y_n)<1$. En déduire la réponse (en fonction de $n$) à la question posée).
Indication
Corrigé
Enoncé
Une entreprise souhaite recrute un cadre. $n$ personnes se présentent pour le poste. Chacun d'entre eux passe à tour de rôle un test, et le premier qui réussit le test est engagé. La probabilité de réussir le test est $p\in ]0,1[$. On pose également $q=1-p$. On définit la variable aléatoire $X$ par $X=k$ si le $k$-ième candidat qui réussit le test est engagé, et $X=n+1$ si personne n'est engagé.
  1. Déterminer la loi de $X$.
  2. En dérivant la formule donnant $\sum_{k=0}^n x^k$, calculer $\sum_{k=1}^n kx^{k-1}$ pour $x\neq 1$.
  3. En déduire l'espérance de $X$.
  4. Quelle est la valeur minimale de $p$ pour avoir plus d'une chance sur deux de recruter l'un des candidats?
Indication
Corrigé
Enoncé
On s'intéresse à une maladie génétique. Elle est portée par un gène particulier qui existe en deux formes : l'allèle A (sain), et l'allèle B (malade). Il existe donc par chaque individu trois génotypes possibles : 1 (A A), 2 (A B) et 3 (B B). Un individu est malade lorsqu'il porte le génotype (B B). Le but de l'exercice est de démontrer que la proportion de malades est constante au cours du temps.
Pour cela, on s'intéresse à une population dont la proportion du génotype $i$, à la génération $n$, est noté $u_i(n)$. On rappelle que chaque enfant reçoit un des deux allèles de chacun de ses parents (et ce de façon complètement aléatoire). On suppose aussi que les procréations dans la population se font complètement aléatoirement.
On fixe $n\geq 0$ et on note $E$ le génotype d'un enfant de la $n+1$-ième génération, $P$ et $M$ les génotypes respectifs du père et de la mère.
  1. Calculer les probabilités conditionnelles $P(E=1| (P,M)=(i,j) )$.
  2. En déduire la loi de $E$ en fonction de $u_i(n)$.
  3. On pose $\theta(n)=u_1(n)+\frac 12 u_2(n)$. Exprimer $u_{i}(n+1)$ en fonction de $\theta(n)$.
  4. Démontrer que la proportion de malades ne varie plus à partir de la génération $2$.
Indication
Corrigé
Lois uniformes
Exercice 9 - Trouver le paramètre d'une loi uniforme connaissant son espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $\{0,1,\dots,a\}$, où $a\in\mathbb N$. On suppose que $E(X)=6$. Déterminer $a$.
Indication
Corrigé
Enoncé
$A$ et $B$ sont deux avions ayant respectivement 4 et 2 moteurs. Les moteurs sont supposés indépendants les uns des autres, et ils ont une probabilité $p$ de tomber en panne. Chaque avion arrive à destination si moins de la moitié de ses moteurs tombe en panne. Quel avion choisissez-vous? (on discutera en fonction de $p$).
Indication
Corrigé
Enoncé
On lance $n$ fois une pièce parfaitement équilibrée. Quelle est la probabilité d'obtenir strictement plus de piles que de faces.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Uniformément uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dispose de $n$ urnes numérotées de $1$ à $n$, l'urne numérotée $k$ comprenant $k$ boules numérotées de $1$ à $k$. On choisit d'abord une urne, puis une boule dans cette urne, et on note $Y$ la variable aléatoire du numéro obtenu. Quelle est la loi de $Y$? Son espérance?
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Deux variables aléatoires suivant une loi uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X,Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant la loi uniforme sur $\{1,\dots,n\}$.
  1. Déterminer $P(X=Y)$.
  2. Déterminer $P(X\geq Y)$.
  3. Déterminer la loi de $X+Y$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une urne contient $N$ boules numérotées de $1$ à $N$. On en tire $n$ en effectuant des tirages avec remise. On note $X$ et $Y$ le plus petit et le plus grand des nombres obtenus. Déterminer la loi de $X$ et la loi de $Y$.
Indication
Corrigé
Lois binomiales
Enoncé
L'examen du code de la route se compose de 40 questions. Pour chaque question, on a le choix entre 4 réponses possibles. Une seule de ces réponses est correcte. Un candidat se présente à l'examen. Il arrive qu’il connaisse la réponse à certaines questions. Il répond alors à coup sûr. S’il ignore la réponse, il choisit au hasard entre les 4 réponses proposées. On suppose toutes les questions indépendantes et que pour chacune de ces questions, la probabilité que le candidat connaisse la vraie réponse est $p$. On note, pour $1\leq i\leq 40$, $A_i$ l'événement : "le candidat donne la bonne réponse à la $i$-ème question". On note $S$ la variable aléatoire égale au nombre total de bonnes réponses.
  1. Calculer $P(A_i)$.
  2. Quelle est la loi de $S$ (justifier!)?
  3. A quelle condition sur $p$ le candidat donnera en moyenne au moins 36 bonnes réponses?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Méthode du maximum de vraisemblance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Un étang contient des brochets et des truites. On note $p$ la proportion de truites dans l'étang. On souhaite évaluer $p$. On prélève 20 poissons au hasard. On suppose que le nombre de poissons est suffisamment grand pour que ce prélèvement s'apparente à 20 tirages indépendants avec remise. On note $X$ le nombre de truites obtenues.
  1. Quelle est la loi de $X$?
  2. Le prélèvement a donné $8$ truites. Pour quelle valeur de $p$ la quantité $P(X=8)$ est-elle maximale?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Minimum et maximum de deux dés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On lance deux dés équilibrés, on note $U_1$ et $U_2$ les variables aléatoires correspondant aux résultats obtenus. On appelle $X=\min(U_1,U_2)$ et $Y=\max(U_1,U_2)$.
  1. Donner la loi de $X$. En déduire $E(X)$.
  2. Exprimer $X+Y$ en fonction de $U_1$ et $U_2$. En déduire $E(Y)$.
  3. Exprimer $XY$ en fonction de $U_1$ et $U_2$. En déduire $\textrm{Cov}(X,Y)$. $X$ et $Y$ sont-elles indépendantes?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un examen consiste en un QCM de 15 questions. Pour chaque question, 3 réponses sont possibles. Les étudiants répondent à chaque question indépendamment. L'enseignant estime que les étudiants ayant préparé l'examen sont $70\%$ et répondent à une question correctement avec probabilité 0,8. Les autres étudiants choisissent les réponses au hasard. Il faut au moins 8 bonnes réponses pour réussir l'examen.
  1. Quelle est la probabilité qu'un étudiant, choisi au hasard, réussisse l'examen?
  2. Si un étudiant échoue, quelle est la probabilité qu'il ait préparé l'examen?
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ et soit $\veps>0$. Démontrer que $$P\left(\left|\frac Xn-p\right|\geq \veps\right)\leq \frac{p(1-p)}{n\veps^2}.$$
  2. Application : On lance un dé cubique parfait. Déterminer un nombre de lancers à effectuer pour pouvoir affirmer avec un risque d'erreur inférieur à $5\%$ que la fréquence d'apparition du 6 au cours de ces lancers diffère de 1/6 d'au plus 1/100?
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Maximum d'une loi binomiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres $n\in\mathbb N^*$ et $p\in ]0,1[$. Pour quelle(s) valeur(s) de $k$ la probabilité $p_k=P(X=k)$ est maximale?
Indication
Corrigé
Enoncé
On jette 3600 fois un dé équilibré. Minorer la probabilité que le nombre d'apparitions du numéro 1 soit compris entre 480 et 720.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une grenouille monte les marches d'un escalier (supposé infini) en partant du sol et en sautant
  • ou bien une seule marche, avec probabilité $p$;
  • ou bien deux marches, avec la probabilité $1-p$.
On suppose que les sauts sont indépendants les uns des autres.
  1. Dans cette question, on observe $n$ sauts de la grenouille, et on note $X_n$ le nombre de fois où la grenouille a sauté une marche, et $Y_n$ le nombre de marches franchies. Quelle est la loi de $X_n$? Exprimer $Y_n$ en fonction de $X_n$. En déduire l'espérance et la variance de $Y_n$.
  2. Pour $k\geq 1$, on note $p_k$ la probabilité que la grenouille passe par la marche $k$. Que vaut $p_1$? Que vaut $p_2$? Établir une formule de récurrence liant $p_k$ et $p_{k-1}$. En déduire la valeur de $p_k$ pour $k\geq 1$.
  3. On note désormais $Z_n$ le nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser la $n$-ième marche. Écrire un algorithme qui simule la variable aléatoire $Z_n$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 23 - Une autre expression de l'espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire prenant ses valeurs dans $\{0,1,\dots,N\}$. Démontrer que $$E(X)=\sum_{n=0}^{N-1}P(X>n).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire réelle définie sur un espace probabilisé fini. Démontrer que $E(X)^2\leq E(X^2)$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Maximiser l'espérance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$. On considère deux variables aléatoires indépendantes $X_1$ et $X_2$, définies sur le même espace probabilisé $(\Omega,\mathcal{B},P)$, et suivant la loi uniforme discrète sur $\{1,2,\dots,n\}$. On considère $a$ un entier de $\{1,2,\dots,n\}$, et $Y$ la variable aléatoire définie par : $$\forall \omega\in\Omega,\ Y(\omega)= \left\{\begin{array}{ll} X_1(\omega)&\textrm{ si }X_2(\omega)\leq a\\ X_2(\omega)&\textrm{ si }X_2(\omega)>a. \end{array}\right.$$
  1. Déterminer la loi de $Y$ (vérifier que l'on obtient bien une loi de probabilité).
  2. Calculer l'espérance de $Y$ et la comparer à l'espérance de $X_1$.
  3. Pour quelles valeurs de $a$ cette espérance est-elle maximale?
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Entropie d'une variable aléatoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire discrète finie prenant la valeur $x_i$ avec probabilité $p_i$, pour $i=1,\dots,n$. On définit l'entropie de $X$ par : $$H(X)=-\sum_{i=1}^n p_i\ln(p_i)$$ avec la convention $x\ln x=0$ si $x=0$ (ce qui correspond au prolongement par continuité en $0$ de la fonction $x\mapsto x\ln x$).
  1. Démontrer que $H(X)\geq 0$.
  2. Démontrer que $H(X)=0$ si et seulement si $X$ est presque sûrement constante, c'est-à-dire s'il existe $i\in \{1,\dots, n\}$ tel que $p_i=1$.
  3. Vérifier que, pour tout $k=1,\dots,n$, on a $$(-np_k)\ln (np_k)\leq 1-np_k$$ avec égalité si et seulement si $np_k=1$.
  4. En déduire que $H(X)\leq \ln n$.
  5. Démontrer que $H(X)=\ln n$ si et seulement si $X$ est équidistribuée, ie si $p_i=1/n$ pour tout $i=1,\dots,n$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Loi faible des grands nombres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé fini $\Omega$. On suppose qu'elles sont deux à deux indépendantes, qu'elles ont même espérance $m$ et même variance $\sigma^2$. On pose $S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}n$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $$P(|S_n-m|\geq\veps)\to 0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Loi faible pour des sommes de Bernoulli qui n'ont pas la même loi [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires définies sur un même espace probabilisé fini $\Omega$. On suppose que, pour chaque $n\geq 1$, $X_i$ suit une loi de paramètre $p_i$. On suppose en outre que les variables aléatoires sont deux à deux indépendantes. On pose $$S_n=\frac{X_1+\dots+X_n}n\textrm{ et }m_n=\frac{p_1+\dots+p_n}n.$$ Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $P(|S_n-m_n|\geq\veps)\to 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Fonction génératrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $X$ une variable aléatoire à valeurs dans $\{0,\dots,n\}$, on appelle fonction génératrice la fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ définie par $$G_X(x)=\sum_{k=0}^n p_k x^k$$ où $p_k=P(X=k)$.
  1. Déterminer la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi de Bernoulli de paramètre $p$; une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
  2. Démontrer que deux variables aléatoires discrètes finies $X$ et $Y$ ont même loi si et seulement si $G_X=G_Y$.
  3. Montrer que $E(X)=G_X'(1)$ et $V(X)=G_X''(1)+G_X'(1)-\big( G_X'(1)\big)^2.$ Retrouver l'espérance et la variance d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
  4. Montrer que si $X$ et $Y$ sont deux variables aléatoires discrètes finies indépendantes, alors $G_{X+Y}=G_XG_Y$. Retrouver alors la fonction génératrice d'une variable aléatoire suivant une loi binomiale.
  5. Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales respectives $\mathcal B(n,p)$ et $\mathcal B(m,p)$. Quelle est la loi de $Z=X+Y$?
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Somme de variables aléatoires ayant une répartition uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $a,b,c,d,\lambda$ 5 réels strictement positifs. Montrer qu'il est impossible que $$\left\{ \begin{array}{rcl} ab&=&\lambda\\ cd&=&\lambda\\ ac+bd&\leq&\lambda \end{array}\right. $$
  2. Soit $n\geq 1$. Existe-t-il deux variables aléatoires indépendantes à valeurs dans $\{0,\dots,n\}$ dont la somme suit une loi uniforme sur $\{0,\dots,2n\}$?
Indication
Corrigé
Meef
Exercice 31 - Simuler une variable aléatoire discrète [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La plupart des langages de programmation dispose d'une fonction ALEA() qui renvoie un nombre aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0,1]$. Écrire un algorithme dont les données sont un entier $N\geq 1$ et un tableau $p[1],\dots,p[N]$ de réels positifs vérifiant $\sum_{i=1}^n p[i]=1$ et qui retourne un nombre aléatoire $X$ tel que $P(X=i)=p[i]$.
Corrigé