$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Variables aléatoires à densité : lois uniformes, exponentielles, normales

Lois uniformes
Exercice 1 - Carré de la loi uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[a,b]$, avec $0<a<b$. Donner la fonction de répartition, la densité, l'espérance et la variance de $Y=X^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Loi uniforme, moyenne et écart-type [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[a,b]$. On note $m$ sa moyenne et $\sigma$ son écart-type. Calculer la probabilité $P(X\in [m-\sigma,m+\sigma])$.
Corrigé
Enoncé
Soient $X_0,\dots,X_n$ des variables aléatoires suivant une loi uniforme sur $[0,1]$, indépendantes.
  1. Soit $0\leq k\leq n$ et soit $U_k=\min(X_0,\dots,X_k)$. Démontrer que $U_k$ admet une densité que l'on déterminera.
  2. Soit $N$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,1/2)$. Démontrer que $U=\min(X_0,\dots,X_N)$ admet une densité que l'on déterminera.
Indication
Corrigé
Enoncé
A partir de 7heures du matin, les bus passent toutes les quinze minutes à un arrêt précis. Un usager se présente à cet arrêt entre 7h et 7h30. On fait l'hypothèse que l'heure exacte de son arrivée, représentée par le nombre de minutes après 7h, est une variable aléatoire uniformément répartie sur l'intervalle [0,30]. Quelle est la probabilité que l'usager attende moins de cinq minutes le prochain bus? Qu'il l'attende plus de dix minutes?
Indication
Corrigé
Enoncé
Clément et Amélie se donnent rendez-vous devant une salle de concert entre 19h et 20h. Les instants d'arrivée de Clément et Amélie après 19h sont assimilés à une loi uniforme sur $[0,1]$. Chacun attend jusqu'à un quart d'heure que l'autre arrive, puis rentre dans la salle. Quelle est la probabilité que Clément et Amélie entrent ensemble dans la salle de concert?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Image de la loi uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur $[-\pi/2,\pi/2]$. On pose $X=\tan U$. Déterminer la loi de $X$, sa densité.
Indication
Corrigé
Enoncé
La distance en train entre Paris et Clermont-Ferrand fait environ 400km. Les motrices tombent souvent en panne sur ce trajet. On fait l'hypothèse que cette panne peut se produire de façon uniforme sur tout le trajet. Lorsqu'un train tombe en panne, on doit faire venir une locomotive de rechange. On suppose que la SNCF dispose pour cette ligne de deux locomotives de rechange. Bien sûr, c'est toujours la locomotive la plus proche qui se rend au lieu de la panne.
  1. On suppose que les locomotives sont disposées respectivement dans les gares de départ et d'arrivée. Quel est la distance moyenne parcourue par la locomotive de rechange?
  2. Un ingénieur de la SNCF se dit : ce serait plus malin de placer les locomotives respectivement au 1/3 et au 2/3 du parcours. Qu'en pensez-vous?
  3. Déterminer la position optimale des deux locomotives de secours pour minimiser la distance parcourue par la locomotive de rechange.
Corrigé
Lois exponentielles
Enoncé
Une usine fabrique des cadres de vélo. Pour qu'une pièce soit terminée, il faut qu'elle passe par la chaine $A$ puis par la chaine $B$. Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaine $A$ est une variable aléatoire $M$ suivant une loi exponentielle de paramètre 2. Le temps de passage exprimé en minutes pour un objet sur la chaine $B$ est une variable aléatoire $N$ suivant une loi uniforme sur $\left[ 0,1\right] $ Les variables $M$ et $N$ sont indépendantes.
  1. Rappeler l'expression d'une densité de probabilité $v$ de $M$ et d'une densité $w$ de $N$.
  2. On note $S$ la variable aléatoire représentant le temps total de fabrication d'une pièce. Exprimer $S$ en fonction de $M$ et de $N$ et déterminer le temps moyen de fabrication d'une pièce.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Désintégration radioactive. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La durée de vie des atomes de radon suit une loi exponentielle. La probabilité qu'un atome de radon ne soit pas désintégré en 40s sachant qu'il ne l'est pas en 12s vaut $\frac{\sqrt 2}2$. Quelle est la probabilité qu'il ne soit pas désintégré avant 76s sachant qu'il ne l'est pas en 20s?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Uniforme et exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ une variable aléatoire de loi uniforme sur $[0,1]$. Démontrer que la variable aléatoire $X=-\ln U$ suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
Indication
Corrigé
Enoncé
Le fonctionnement d'une machine est perturbé par des pannes. On considère les variables aléatoires $X_1,X_2$ et $X_3$ définies par : $X_1$ est le temps, exprimé en heures, écoulé entre la mise en route de la machine et la première panne. $X_2$ (resp. $X_3$), est le temps, en heures, écoulé entre la remise en route de la machine après la première (resp. la deuxième) panne et la panne suivante. On suppose que les variables aléatoires $X_1,X_2$ et $X_3$ sont indépendantes et suivent la même loi exponentielle de paramètre 1/2.
  1. Quelle est la durée moyenne de fonctionnement entre deux pannes consécutives?
  2. Soit $E$ l'événement : "chacune des 3 périodes de fonctionnement de la machine dure plus de 2 heures". Calculer $P(E)$.
  3. Soit $Y$ la variable aléatoire égale à la plus grande des 3 durées de fonctionnement de la machine sans interruption.
    1. Calculer $P(Y\leq t)$ pour tout $t\in\mathbb R$.
    2. Déterminer une densité de $Y$.
    3. Pour $a<0$, calculer $\int_0^{+\infty}te^{at}dt.$
    4. Démontrer que la variable aléatoire $Y$ admet une espérance, dont on calculera, en heures et minutes, la valeur.
Corrigé
Exercice 12 - Durée de vie de composants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une usine fabrique des appareils électroniques constitués de deux composants $A$ et $B$ dont les fonctionnements sont indépendants l'un de l'autre et dont les durées de vie (en heures) sont des variables aléatoires $X_1$ et $X_2$ qui suivent une loi exponentielle de paramètre respectif $\lambda_1$ et $\lambda_2$.
  1. On a observé que la durée de vie moyenne des composants de type $A$ est de $1000$ heures. Que vaut $\lambda_1$?
  2. On a observé que, en moyenne, un composant sur deux de type $B$ avait une durée de vie inférieure ou égale à 1500 heures, et un sur deux avait une durée de vie supérieure ou égale à 1500 heures. Que vaut $\lambda_2$?
  3. Un appareil fonctionne si et seulement si ses deux composants fonctionnent. On note $T$ la durée de vie d'un appareil. Pour $x$ un réel strictement positif, exprimer $P(T> x)$ en fonction de $P(X_1> x)$ et de $P(X_2> x)$.
  4. En déduire $P(T\leq x)$ en fonction de $\lambda_1$, de $\lambda_2$ et de $x$, puis reconnaitre la loi de $T$.
  5. Sachant que la durée de vie de l'appareil dépasse l'espérance de vie du premier composant, quelle est la probabilité que la durée de vie de l'appareil dépasse l'espérance de vie du deuxième composant ?
  6. Sachant que la durée de vie de l'appareil dépasse l'espérance de vie du deuxième composant, quelle est la probabilité que la durée de vie de l'appareil dépasse l'espérance de vie du premier composant ?
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Variable aléatoire sans mémoire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'une variable aléatoire $T$ à valeurs dans $\mathbb R_+$ est \emph{sans mémoire} si elle vérifie, pour tous $s,t> 0.$ $$P(T> t+s)=P(T>t)P(T>s).$$
  1. Vérifier qu'une variable aléatoire $T$ vérifiant une loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$, c'est-à-dire dont la densité est donnée par $f(t)=\lambda\exp(-\lambda t)\mathbf 1_{[0,+\infty[}(t)$ est une variable aléatoire sans mémoire.
  2. Réciproquement, soit $T$ une variable aléatoire à valeurs dans $\mathbb R_+$ sans mémoire et vérifiant $P(T>0)>0$.
    1. On suppose qu'il existe $t>0$ tel que $P(T>t)=0$. Calculer $P(T>t/2^n)$ en fonction de $P(T>t)$. En déduire que $P(T>0)=0$. Conclusion?
    2. Soit $\alpha=P(T>1)$. On souhaite démontrer que $P(T>t)=\alpha^t$ pour tout $t\in\mathbb R_+$.
      1. Démontrer ce résultat si $t\in\mathbb N^*$.
      2. On suppose $t\in\mathbb Q_+^*$ et on note $t=p/q$. Démontrer que $$P(T>p)=\big(P(T>p/q)\big)^q$$ et en déduire que le résultat est vrai pout $t\in\mathbb Q_+^*$.
      3. En utilisant la décroissance de $x\mapsto P(T>x)$, démontrer que le résultat est vrai pour tout $t\in\mathbb R_+$.
    3. Conclure.
  3. Justifier le terme "sans mémoire". On pourra calculer $P(T>s+t|T>s)$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Minimum de deux lois exponentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $X_1$ et $X_2$ deux variables aléatoires indépendantes suivant une loi exponentielle de paramètres respectifs $\lambda_1$ et $\lambda_2$. On pose $Y=\min(X_1,X_2)$.
  1. Pour tout réel $y$, calculer $\mathbb P(Y>y)$. En déduire que $Y$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda_1+\lambda_2$.
  2. Deux guichets sont ouverts à une banque. Le temps de service au premier guichet (resp. au deuxième) suit une loi exponentielle de moyenne 20 min (resp. 30 min). Deux clients rentrent simultanément, l'un choisit le guichet 1 et l'autre le guichet 2. En moyenne, après combien de temps sort le premier?
  3. En moyenne, après combien de temps sort le dernier?
Indication
Corrigé
Enoncé
Les ampoules électriques d'un tunnel routier sont allumées 24 heures sur 24 et la durée de vie de chaque ampoule suit une loi exponentielle d'espérance 10000 heures. Il y a 100 ampoules dans le tunnel et à l'instant t = 0, on installe des ampoules neuves. Au bout de combien de temps, la probabilité qu'au moins une ampoule soit en panne dépasse-t-elle 95\% ?
Corrigé
Exercice 16 - L'entreprise d'autocars [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une entreprise d'autocars dessert une région montagneuse. En chemin, les véhicules peuvent être bloqués par des incidents extérieurs comme des pierres, la présence de troupeaux sur la route. Un autocar part de son entrepôt. On note $D$ la variable aléatoire qui mesure la distance, en kilomètres, que l'autocar va parcourir jusqu'à ce que survienne un incident. On admet que $D$ suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. Une étude statistique a montré qu'une fois sur deux, le premier incident survient avant le 62ème kilomètre et une fois sur deux, il survient après le 62ème kilomètre.
  1. Quelle est la distance moyenne, arrondie au kilomètre, parcourue par un autocar sans incident ?
  2. Calculer la probabilité que la distance parcourue sans incident soit :
    1. supérieure à 300 km ;
    2. comprise entre 50 et 100 km.
  3. Sachant que l'autocar a parcouru 350 kilomètres sans incident, quelle est la probabilité qu'il n'en n'ait pas non plus au cours des 25 kilomètres suivants ?
  4. L'entreprise possède $N_0$ autocars. Les distances parcourues par chacun des autocars entre l'entrepôt et le lieu où survient le premier incident sont des variables aléatoires deux à deux indépendantes et de même loi exponentielle de paramètre $\lambda$. On note $X_d$ la variable aléatoire égale au nombre d'autocars n'ayant subi aucun incident après avoir parcouru $d$ kilomètres.
    1. Quelle est la loi de $X_d$ ?
    2. Donner le nombre moyen d'autocars n'ayant subi aucun incident après $d$ kilomètres.
    3. On note $d_0$ le nombre minimum de kilomètres parcourus par chacun des autocars dans une journée. A partir de quelle valeur de $d_0$ a-t-on au moins 99 chances sur 100 qu'un incident se soit produit dans la flotte ? Application numérique : calculer cette valeur lorsque la flotte compte 25 autocars. Commenter.
Corrigé
Exercice 17 - Lien entre lois exponentielles et lois géométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre $1$. On note $Y=\lceil X\rceil$ sa partie entière ``supérieure'', c'est-à-dire que $\lceil 1.5\rceil=2$ et $\lceil 3\rceil=3$.
  1. Démontrer que $Y$ suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre.
  2. On note $Z=Y-X$. Quelle est sa fonction de répartition?
  3. En déduire que $Z$ est une variable aléatoire à densité dont la densité est $$f(x)=\frac{e^x}{e-1}\mathbf 1_{[0,1]}(x).$$
Indication
Corrigé
Lois normales
Enoncé
La taille d'un homme âgé de 25 ans suit une loi normale de moyenne 175cm et d'écart-type 6cm.
  1. Quel est le pourcentage d'hommes ayant une taille supérieure à 1m85?
  2. Parmi les hommes mesurant plus de 1m80, quelle proportion mesure plus de 1m92?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Lecture de la table de la loi normale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Lecture directe : soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal N(0,1)$. Déterminer $t>0$ tel que $P(-t<X<t)\simeq 0,95$.
  2. Renormalisation : soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale $\mathcal N(8,4)$. Donner des valeurs approchées pour $$P(X<7,5),\ P(X>8,5),\ P(6,5<X<10),\ P(X>6|X>5).$$
  3. Lecture inverse : Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi gaussienne. Déterminer l'espérance et la variance de $X$ sachant que $$\left\{ \begin{array}{rcl} P(X<-1)&\simeq& 0,05\\ P(X>3)&\simeq& 0,12. \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On suppose que la distance en mètres parcourues par un javelot lancé par un athlète A suit une loi normale. Au cours d'un entraînement, on constate que
  • exactement $10\%$ des javelots atteignent plus de $75$ mètres.
  • exactement $25\%$ des javelots atteignent moint de $50$ mètres.
Calculer la longueur moyenne parcourue par un javelot ainsi que l'écart-type de cette longueur.
Corrigé
Enoncé
On a observé que la longueur d'un pied adulte, en cm, suivait une loi normale $\mathcal N(26,6)$. Une entreprise décide de fabriquer des chaussettes, en proposant trois tailles.
  1. Déterminer un intervalle centré en $26$ qui concentre au moins $95\%$ des tailles.
  2. Diviser l'intervalle obtenu en trois intervalles égaux, qui détermineront les trois tailles.
  3. Déterminer quelle part de production on doit réserver à chacune des tailles.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Meilleur intervalle pour la loi normale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi normale centrée réduite. On note $a$ un réel strictement positif. Déterminer, parmi tous les intervalles $I$ de longueur $2a$, celui pour lequel $P(X\in I)$ est maximal.
  2. Reprendre la même question si $X$ suit une loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $\sigma$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. {\bf Restitution de connaissances.}
    1. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit une loi normale ${\mathcal N}(m,\sigma^2)$. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de $$P(m-2\sigma\le Z\le m+2\sigma)\ ?$$
    2. Soit $N$ une variable aléatoire de loi normale centrée réduite. Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près du réel $a$ tel que $$P(-a\le N\le a)=99\%\ .$$
    Au sortir d'un laminoir, un lingot est découpé en billettes de 6 mètres de longueur. On sait que la tête du lingot présente un défaut sur une longueur $X$, où $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale ${\mathcal N}(8,4)$. Pour tenter d'éliminer la longueur défectueuse, on détruit systématiquement les deux billettes de tête.
  2. Quel est le risque pour que la troisième billette présente encore un défaut ?
  3. Calculer le nombre de billettes à détruire pour que la première billette retenue soit sans défaut avec une probabilité d'au moins 99\%.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un grossiste fournit en viande hachée trois cantines. Il reçoit chaque matin leurs commandes. Ce sont des variables aléatoires indépendantes suivant des lois normales d'espérance respective 55 kg, 65 kg et 30kg, et d'écart-type respectif 4 kg, 10 kg et 3 kg. Calculer la quantité de viande dont le grossiste dois disposer pour que le risque de ne pouvoir satisfaire la demande soit inférieur à 5\%.
Indication
Corrigé
Enoncé
La capacité des ascenseurs est déterminée par le fait que la masse d’une personne suit une loi normale de moyenne 75 kg et d’écart-type 5 kg. Dans un ascenseur du type WH1 le nombre maximum de personnes est de 9. Un voyant lumineux affiche qu’il y a surpoids pour une masse supérieure à 700 kg, dans ce cas l’ascenseur ne démarre pas.
  1. Calculer la probabilité qu’il y ait surpoids, quand un groupe de 9 personnes monte dans l’ascenseur.
  2. Une enquête récente a montré qu’aux USA, le poids moyen est de 76 kg et l’écart-type de 6 kg. Le building de la World-Company, à New York, est équipé d’un ascenseur du type WH1. Calculer la probabilité qu’il y ait surpoids, quand un groupe de 9 personnes monte dans cet ascenseur.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Un équivalent de la queue de la gaussienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x>0$, on pose $F(x)=\int_{x}^{+\infty}e^{-t^2/2}dt$ et $G(x)=\int_{x}^{+\infty}\frac1{t^2}e^{-t^2/2}dt$.
  1. Démontrer que $G(x)=_{+\infty}o\big(F(x))$.
  2. Soit $X$ suivant une loi normale $\mathcal N(0,1)$. Donner un équivalent de $P(X>x)$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé