$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Convergence des suites de variables aléatoires - Théorèmes limites

Diverses notions de convergence
Exercice 1 - Une suite de variables aléatoires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on considère la fonction $f_n$ définie par $$f_n(x)=\mathbf 1_{\mathbb R_+}(x)n^2x\exp(-n^2x^2/2).$$
  1. Montrer que $f_n$ est la densité d'une variable aléatoire.
  2. Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires telle que, pour tout entier $n\geq 1$, $X_n$ admet pour densité $f_n$. Démontrer que la suite $(X_n)$ converge en probabilité vers une variable aléatoire $X$ que l'on précisera.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Opérations et convergence en probabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires réelles définies sur $(\Omega,\mathcal A,P)$ convergeant en probabilité vers $X$. Soit $Y$ une variable aléatoire définie sur $(\Omega,\mathcal A,P)$.
  1. Soit $\veps>0$. Démontrer qu'il existe $n_0\in\mathbb N$ et $M>0$ tel que $$\forall n\geq n_0,\ P(|X_n|\geq M)+P(|X|\geq M)+P(|Y|\geq M)\leq\veps.$$
  2. Démontrer que $YX_n$ converge en probabilité vers $YX$.
  3. Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction uniformément continue. Démontrer que $(f(X_n))$ converge en probabilité vers $f(X)$.
  4. Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue. Démontrer que $(f(X_n))$ converge en probabilité vers $f(X)$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Maximum de lois uniformes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(U_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi uniforme sur $[0,1]$. On note $M_n=\max(U_1,\dots,U_n)$ et $X_n=n(1-M_n)$.
  1. Quelle est la fonction de répartition de $X_n$?
  2. Étudier la convergence en loi de la suite $(X_n)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Convergence en loi pour une suite de variables à densité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ un entier naturel non-nul et soit $a$ un réel. On considère la fonction $f_n$ définie sur $\mathbb R$ par $f_n(x)=\frac{an}{\pi(1+n^2x^2)}.$
  1. Déterminer $a$ pour que $f_n$ soit une densité de variable aléatoire.
  2. Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires telle que chaque $X_n$ admet pour densité $f_n$. Étudier l'existence de moments pour $X_n$.
  3. Étudier la convergence en loi de la suite $(X_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dit qu'une variable aléatoire $Y$ suit une loi de Gumbel si elle admet pour densité $f(x)=e^{-x-e^{-x}}$.
  1. Vérifier que $f$ est une densité, et calculer la fonction de répartition de $Y$.
  2. Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées de loi exponentielle de paramètre 1. On pose $M_n=\max(X_1,\dots,X_n)$. Démontrer que la suite $(M_n-\ln n)$ converge en loi vers $Y$ suivant une loi de Gumbel.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Quand la convergence en loi entraîne la convergence en probabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires qui converge en loi vers une variable aléatoire $X$ constante égale à $a$. Démontrer que la suite $(X_n)$ converge aussi en probabilité vers $X$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\lambda>0$. Pour tout entier $n\geq\lambda$, on fixe $(X_i^n)_{i\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes de Bernoulli de paramètre $p_n=\lambda/n$. On considère alors la variable aléatoire $$N_n=\frac 1n\inf\{i\geq 1;\ X_i^n=1\}.$$ Démontrer que la suite $(N_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire réelle de loi exponentielle de paramètre $\lambda$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Convergence de la loi binomiale vers la loi de Poisson [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires vérifiant une loi binomiale $\mathcal B(n,p_n)$, avec $np_n\to\lambda>0$. Démontrer que $(X_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire $X$ suivant une loi de Poisson $\mathcal P(\lambda)$.
Indication
Corrigé
Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson
Enoncé
Une société de location de voitures a calculé que la probabilité qu'une de ses voitures louée ait un accident est égale à $0,2\%$. On suppose que les accidents sont indépendants les uns des autres. Chaque jour, 1000 voitures de la société sont en circulation. On note $N$ le nombre de voitures accidentées.
  1. Quelle est la loi de $N$?
  2. Donner une valeur approchée de la probabilité pour qu'il y ait au moins 5 voitures accidentées dans la journée.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Transmission en réseau [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Calculer $P(X=0\ |\ X\textrm{ est pair})$.
  2. 2. Application : Une ligne de transmission entre émetteur et récepteur transporte des données représentées par 1024 octets (soit 8 192 bits). La probabilité que la transmission d’un bit soit erronée est estimée à $10^{-5}$ et on admet que les erreurs sont indépendantes les unes des autres. On contrôle la qualité de la transmission avec un calcul de parité sur le nombre de 1 envoyés :
    • si il y a un nombre impair d’erreurs, un message d’erreur apparaît.
    • sinon, c’est à dire si il y a un nombre pair d’erreurs, la transmission est acceptée.
    Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucune erreur sachant que la transmission est acceptée.
Indication
Corrigé
Loi des grands nombres
Exercice 11 - Une variante de la loi faible des grands nombres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes. On suppose que chaque $X_n$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p_n$. On note $S_n=X_1+\dots+X_n$ et on souhaite démontrer que, pour tout $\veps>0$, $$P\left(\left|\frac {S_n}n-\frac 1n\sum_{k=1}^n p_k\right|\geq \veps\right)=0.$$
  1. Pourquoi ne peut-on pas appliquer directement la loi faible des grands nombres?
  2. Quelle est l'espérance de $S_n$? Sa variance? Démontrer que $V(S_n)\leq n$.
  3. En déduire le résultat.
Indication
Corrigé
Enoncé
On suppose qu'à la naissance, la probabilité qu'un nouveau-né soit un garçon est égale à $1/2$. On suppose que tous les couples ont des enfants jusqu'à obtenir un garçon. On souhaite évaluer la proportion de garçons dans une génération de cette population. On note $X$ le nombre d'enfants d'un couple pris au hasard dans la population.
  1. Donner la loi de la variable aléatoire $X$.
  2. On suppose qu'une génération en âge de procréer est constituée de $N$ couples, et on note $X_1,\cdots,X_N$ le nombre d'enfants respectif de chaque couple. On note enfin $P$ la proportion de garçons issus de cette génération. Exprimer $P$ en fonction de $X_1,\dots,X_N$.
  3. Quelle est la limite de $P$ lorsque $N$ tend vers l'infini. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Marche aléatoire non symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(X_n)_{n\geq 1}$ une suite de variables aléatoires indépendantes vérifiant $$P(X_n=1)=p,\ P(X_n=-1)=1-p=q\textrm{ avec }p\neq\frac 12.$$ On pose $$S_n=\sum_{i=1}^n X_i,\quad A_n=\{S_n=0\}.$$
  1. Que représente l'événement $\limsup A_n$?
  2. Démontrer, en utilisant une loi des grands nombres, que $P(\limsup A_n)=0$.
  3. Quel autre théorème aurait-on pu utiliser pour prouver ce résultat? Le faire! On pourra utiliser que $p(1-p)<1/4$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendants de même loi et de carré intégrable. On note $m$ leur espérance commune. Étudier la convergence presque sûre de la suite $$S_n=\frac{X_1X_2+X_2X_3+\dots+X_{n-2}X_{n-1}+X_{n-1}X_n}{n}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Loi forte pour des variables non indépendantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_k)$ une suite de variables aléatoires indépendantes définies sur $(\Omega,\mathcal A,P)$, suivant une loi uniforme sur $[0,1]$. On pose, pour tout $j\geq 1$, $Z_j=X_jX_{j+1}$.
  1. Calculer $\textrm{Var}(Z_j)$ et $\textrm{Cov}(Z_j,Z_{j+i})$ pour $i\geq 1$.
  2. En déduire que $$\frac 1n\sum_{j=1}^n Z_j\xrightarrow[L^2(\Omega)]{n\to+\infty}\frac 14.$$
  3. Les variables aléatoires $(Z_j)_{j\geq 1}$ sont-elles indépendantes? Et les variables $(Z_{2k})_{k\geq 1}$?
  4. Déduire de la question précédente que $$\frac 1n\sum_{j=1}^n Z_j\xrightarrow[ps]{n\to+\infty}\frac 14.$$
Indication
Corrigé
Théorème limite central
Enoncé
Un fournisseur d'accès à Internet met en place un point local d'accès, qui dessert $5000$ abonnés. A instant donné, chaque abonné a une probabilité égale à 20\% d'être connecté. Les comportements des abonnés sont supposés indépendants les uns des autres.
  1. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre d'abonnés connectés à un instant $t$. Quelle est la loi de $X$? Quelle est son espérance, son écart-type?
  2. On pose $Y=\frac{X-1000}{\sqrt{800}}$. Justifier précisément qu'on peut approcher la loi de $Y$ par la loi normale $\mathcal{N}(0,1)$.
  3. Le fournisseur d'accès souhaite savoir combien de connexions simultanées le point d'accès doit pouvoir gérer pour que sa probabilité d'être saturé à un instant donné soit inférieure à $2,5\%$. En utilisant l'approximation précédente, proposer une valeur approchée de ce nombre de connexions.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une usine fabrique des pièces dont une proportion inconnue $p$ est défectueuse, et on souhaite trouver une valeur approchée de $p$. On effectue un prélèvement de $n$ pièces. On suppose que le prélèvement se fait sur une population très grande, et donc qu'il peut s'apparenter à une suite de $n$ tirages indépendants avec remise. On note $X_n$ la variable aléatoire égale au nombre de pièces défectueuses et on souhaite quantifier le fait que $X_n/n$ approche $p$.
  1. Quelle est la loi de $X_n$? Sa moyenne? Sa variance?
  2. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, $P\left(\left|\frac{X_n}n-p\right|\geq\veps\right)\leq\frac 1{4n\veps^2}.$
  3. En déduire une condition sur $n$ pour que $X_n/n$ soit une valeur approchée de $p$ à $10^{-2}$ près avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$.
  4. Répondre à la question précédente en utilisant cette fois une approximation de $X_n$ par le théorème de de Moivre-Laplace. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
Lors de la construction d'un collège accueillant 500 élèves, il est prévu la construction d'une cantine comprenant deux salles, chacune disposant de $N$ places. On fait l'hypothèse que chaque élève qui mange choisit au hasard et de façon équiprobable l'une des deux salles, indépendamment les uns des autres. Déterminer la valeur de $N$ à prévoir pour que la probabilité que chaque élève trouve une place dans la salle qu'il a choisie soit supérieure à 0,99.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Saturation de standard [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une entreprise compte 300 employés. Chacun d'eux téléphone en moyenne 6 minutes par heures. Quel est le nombre de lignes que l'entreprise doit installer pour que la probabilité que toutes les lignes soient utilisées au même instant soit au plus égale à 0,025. On pourra utiliser une approximation de la loi d'une certaine variable aléatoire.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Surréservation aérienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Il arrive assez souvent que le nombre de réservations pour une liaison aérienne soit supérieur au nombre de passagers se présentant effectivement le jour du vol. Cela est dû à des empêchements imprévisibles de certains passagers et à une politique systématique de certains d'entre eux qui réservent des places sur plusieurs vols de façon à choisir au dernier moment celui qui leur convient le mieux (en raison de la concurrence, et selon les tarifs choisis, les compagnies ne pénalisent pas les clients qui se désistent et ne font payer effectivement que ceux qui embarquent). Pour compenser ce phénomène, une compagnie aérienne exploitant un avion de 300 places décide de faire de la surréservation (\emph{surbooking}) en prenant pour chaque vol un nombre $n>300$ de réservations. S'il se présente plus de 300 passagers à l'embarquement, les 300 premiers arrivés prennent leur vol et les autres sont dédommagés financièrement.
  1. On considère que les passagers sont mutuellement indépendants et que la probabilité de désistement de chacun d'eux est 10\%. On note $n$ le nombre de réservations prises par la compagnie pour un vol donné et $S_n$ le nombre (aléatoire) de passagers se présentant à l'embarquement pour ce vol. Donner la loi de $S_n$, $E(S_n)$ et $V(X_n)$.
  2. Le directeur commercial de la compagnie aimerait connaitre la valeur maximale de $n$ telle que $P(S_n\leq 300)\geq 0,99$. En utilisant le théorème limite central (ou théorème de De Moivre-Laplace), proposez une solution approchée de ce problème. On pourra s'aider d'une table de la loi normale.
Indication
Corrigé
Enoncé
En appliquant le théorème limite central à une suite de variables aléatoires indépendantes $(X_n)$ suivant toutes une loi de Poisson $\mathcal P(1)$, démontrer que $$e^{-n}\sum_{k=0}^n \frac{n^k}{k!}\to \frac12.$$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Optimalité d'une égalité grâce au théorème limite central [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On peut démontrer que, si des variables aléatoires indépendantes $X_i$, $i\geq 1$, prennent leurs valeurs dans $[-1,1]$ et sont centrées, alors on a $$\mathbb P\left(\left|n^{-1/2}\sum_{i=1}^n X_i\right|\geq a\right)\leq 2\exp\left(-\frac{a^2}2\right)$$ pour tout $n\geq 1$ et tout $a\geq 0$. On souhaite démontrer que le facteur $-\frac 12$ intervenant dans l'exponentielle est optimal. Pour cela, on suppose qu'il existe $A>0$ et $\kappa\in\mathbb R$ tels que, pour toute suite de variables aléatoires indépendantes $X_i$ à valeurs dans $[-1,1]$ et centrées, pour tout $n\geq 1$ et tout $a>0$, $$\mathbb P\left(\left|n^{-1/2}\sum_{i=1}^n X_i\right|\geq a\right)\leq A\exp\left(-\kappa a^2\right).$$ Par ailleurs, on introduit $$\varphi(x)=\frac{e^{-x^2/2}}{\sqrt{2\pi}}\textrm{ et }\phi(x)=\int_{-\infty}^{x}\varphi(t)dt$$ la densité et la fonction de répartition de la loi normale de moyenne 0 et de variance 1. On pose aussi $F(x)=\int_{x}^{+\infty}e^{-t^2/2}dt$ et $G(x)=\int_{x}^{+\infty}\frac1{t^2}e^{-t^2/2}dt$.
  1. Démontrer que $G(x)=_{+\infty}o\big(F(x)\big)$.
  2. Démontrer que $$1-\phi(x)\sim_{x\to+\infty}\frac{ \varphi(x)}x.$$
  3. On suppose que les $(X_i)$ sont identiquement distribuées et vérifient $P(X_i=1)=P(X_i=-1)=1/2$. Démontrer que $\kappa\leq1/2$.
Indication
Corrigé
Lemmes de Borel-Cantelli
Enoncé
On considère une épreuve ayant $r$ issues équiprobables. Par exemple, pour un lancer de pièces de monnaies, $r=2$, pour un lancer de dés, $r=6$. On répète de façon indépendante cette épreuve. On note $A_n$ l'événement : "au cours des $nr$ premières épreuves, chacune des $r$ issues distinctes se produit exactement $n$ fois". Lorsque l'événement $A_n$ se produit, on dit qu'il y a compensation exacte.
  1. Calculer $p_n=P(A_n)$.
  2. En utilisant la formule de Stirling, déterminer un équivalent de $p_n$.
  3. En déduire que si $r\geq 4$, presque sûrement, il n'y a qu'un nombre fini de compensations exactes.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Convergence presque sûre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(X_n)$ une suite de variables aléatoires réelles et $(a_n)$ une suite de réels positifs tels que $\sum_n a_n<\infty$ et $\sum_n P(|X_{n+1}-X_n|>a_n)<+\infty$. Montrer que $(X_n)$ converge presque sûrement.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Somme qui converge presque sûrement? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires indépendantes vérifiant $P(X_n=1)=1/2$ et $P(X_n=-1)=1/2$. On pose $S_n=\sum_{k=1}^n k^{-1/2}X_k$.
  1. Calculer la fonction caractéristique de $X_n$.
  2. En déduire la fonction caractéristique $\phi_{S_n}$ de $S_n$.
  3. Démontrer que, pour $t\neq 0$, $\phi_{S_n}(t)$ tend vers 0.
  4. Démontrer que, pour tout $t\in\mathbb R$, $$|\phi_{S_{n+p}-S_n}(t)-1|\leq |t|+2P(|S_{n+p}-S_n|\geq 1).$$
  5. En déduire l'existence d'une sous-suite $(n_k)_{k\geq 1}$ telle que, pour tout $k\geq 1$, $$P(|S_{n_{k+1}}-S_{n_k}|\geq 1)\geq 1/4.$$
  6. Démontrer que la suite $(S_n)$ est presque sûrement divergente.
Indication
Corrigé