$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Espaces probabilisés infinis dénombrables

Enoncé
On lance un dé équilibré jusqu'à l'obtention d'un 6. Quelle est la probabilité que tous les nombres obtenus soient pairs?
Indication
Corrigé
Enoncé
Émile est un excellent footballeur. La probabilité qu'il marque un but lorsqu'il tire un pénalty est égale à $2/3$. Paulin est un peu moins fort. La probabilité qu'il marque un but lorsqu'il tire un pénalty est égale à $1/2$. Émile lance un défi à Paulin. Chacun va tirer un pénalty à son tour, en commençant par Paulin. Le premier qui marque a gagné. Quelle est la probabilité que Émile gagne?
Indication
Corrigé
Enoncé
Des joueurs $A_1,A_2,\dots,A_n,\dots$ s'affrontent de la manière suivante : chaque manche oppose deux concurrents qui ont chacun la probabilité $\frac 12$ de gagner. La première manche oppose $A_1$ et $A_2$ et, à l'étape $n$, si elle a lieu, le gagnant de l'épreuve précédente affronte le joueur $A_{n+1}$. Le jeu s'arrête lorsque, pour la première fois, un joueur gagne deux manches consécutives.
  1. Quelle est la probabilité que l'étape $n$ ait lieu?
  2. En déduire que le jeu s'arrête presque sûrement.
  3. Quelle est la probabilité que le joueur $A_n$ gagne?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Tirer un nombre au hasard [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On tire au hasard un nombre entier strictement positif. On suppose que la probabilité d'obtenir $n$ vaut $1/2^n$. Pour $k\in\mathbb N^*$, on note $A_k$ l'événement "$n$ est un multiple de $k$".
  1. Vérifier que ceci définit une probabilité sur $\mathbb N^*$.
  2. Calculer la probabilité de $A_k$ pour $k\in\mathbb N^*$.
  3. Calculer la probabilité de $A_2\cup A_3$.
  4. Montrer que pour $p,q\geq 2$, alors $A_p$ et $A_q$ ne sont pas indépendants.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Tirage de boule avec remise double [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une série de tirages aléatoires d’une boule jusqu’à obtenir une boule noire. A chaque tirage amenant une boule blanche, on replace la boule blanche puis on multiplie par 2 le nombre de boules blanches présentes dans l’urne après la remise de la boule, puis on procède au tirage suivant. L’objectif de l’exercice est d’évaluer la probabilité de ne jamais obtenir de boule noire, et de déterminer en particulier si cette probabilité est nulle.
  1. Etude algorithmique : Dans cette question, on s'intéresse à l'événement suivant : $E="$les dix premiers tirages ont lieu et n'amènent pas de boule noire".
    1. On dispose d'une fonction random() qui renvoie un nombre au hasard compris entre 0 et 1. Compléter l'algorithme suivant afin qu'il simule la réalisation d'une telle expérience, et affiche $1$ si l'événement $E$ a eu lieu, et $0$ sinon.


      VARIABLES
           etape EST_DU_TYPE NOMBRE
           boulesblanches EST_DU_TYPE NOMBRE
           succes EST_DU_TYPE NOMBRE
      DEBUT_ALGORITHME
           etape PREND_LA_VALEUR ...
           succes PREND_LA_VALEUR ...
           boulesblanches PREND_LA_VALEUR 1
           TANT_QUE (( (succes.....) ET (etape....) )) FAIRE
           DEBUT_TANT_QUE
              SI ( ... ) ALORS
              DEBUT_SI
                succes PREND_LA_VALEUR ...
              FIN_SI
              SINON
              DEBUT_SINON
                  boulesblanches PREND_LA_VALEUR 2*boulesblanches
              FIN_SINON
              etape PREND_LA_VALEUR ...
          FIN_TANT_QUE
          AFFICHER succès

    2. Modifier l'algorithme précédent afin qu'il répète l'expérience $N$ fois et qu'il renvoie la fréquence de réalisation de l'événement.
    3. L'exécution de cet algorithme pour $N=10000$ a donné une fréquence valant 0,7964. Donner un intervalle contenant $P(E)$ avec une probabilité supérieure ou égale à 0.95.
  2. Etude pour un nombre fini de lancers. Pour $n\geq 1$, on note $B_n$ l'événement : "Les $n$ premiers lancers ont lieu et n'amènent pas de boules noires". On note $u_n=P(B_n)$.
    1. Démontrer, sans chercher à calculer $u_n$, que la suite $(u_n)$ est convergente.
    2. Démontrer que $u_n=\prod_{k=0}^{n-1}\frac{2^k}{1+2^k}.$
  3. Etude à l'infini. On note $B_\infty$ l'événement : "l'expérience ne s'arrête jamais".
    1. Démontrer que $P(B_\infty)=\lim_{n\to+\infty}u_n$.
    2. Vérifier que $-\ln(u_n)=\sum_{k=0}^{n-1}\ln(1+2^{-k})$.
    3. Démontrer que la série $\sum_{k\geq 0}\ln(1+2^{-k})$ est convergente.
    4. En déduire que $P(B_\infty)>0$.
Corrigé