Exercices corrigés - Espaces probabilisés finis

Notons $n$ le nombre de billets achetés. On cherche la probabilité $p_n$ de l'événement "au moins un des billets achetés est gagnant". Bien sûr, c'est la propriété de l'événement complémentaire "aucun des billets achetés n'est gagnant" que l'on va calculer. Il y a $\binom {1000} n$ choix possibles d'achats de billets et $\binom {998}n$ choix qui amènent à aucun billet gagnant. On a donc \begin{eqnarray*} p_n&=&1-\frac{\binom {998}n}{\binom {1000} n}\\ &=&1-\frac{(1000-n)(999-n)}{1000\times 999}. \end{eqnarray*} On en déduit que \begin{eqnarray*} p_n\geq 1/2&\iff &\frac{(1000-n)(999-n)}{1000\times 999}\leq 1/2\\ &\iff&n^2-1999n+500\times 999\leq 0. \end{eqnarray*} Le calcul des racines de ce polynôme montre que l'une des racines est comprise entre 292 et 293 et l'autre est supérieure à 1000. Le polynôme est négatif entre ces deux racines, et il faut donc acheter au moins 293 billets.

Dans chaque cas, on va plutôt étudier la probabilité d'obtenir l'événement complémentaire.

1. La probabilité de n'obtenir aucun $6$ est $\left(\frac 56\right)^n$. La probabilité d'obtenir au moins un six est donc $1-\left(\frac 56\right)^n$.
2. Soit $A$ l'événement "obtenir au maximum une fois le chiffre 6". Alors $A$ est la somme des événements disjoints $A_0$="ne jamais obtenir six" et $A_1$="obtenir exactement $1$ fois le chiffre 6". On a $P(A)=P(A_0)+P(A_1)$. De plus, $P(A_0)$ a été calculé à la question précédente : $$P(A_0)=\left(\frac 56\right)^n.$$ Calculons désormais $P(A_1)$. On commence par choisir le lancer où on a obtenu le chiffre 6. Il y a $\binom n1=n$ tels choix. Ce lancer fixé, la suite de lancers a une probabilité valant $\frac 16\times\left(\frac 56\right)^{n-1}$ de se réaliser. On en déduit que $$P(A_1)=\binom n1\times\frac 16\times\left(\frac 56\right)^{n-1}.$$ Finalement, la probabilité d'obtenir au moins deux fois le chiffre 6 vaut $$1-\left(\frac 56\right)^n-\binom n1\times\frac 16\times\left(\frac 56\right)^{n-1}.$$
3. On généralise la méthode précédente. Notons $A_j$ la probabilité d'obtenir exactement $j$ fois le chiffre 6. La probabilité recherchée est $$1-P(A_0)-P(A_1)-\dots-P(A_{k-1}).$$ Mais, pour calculer $P(A_j)$ on détermine d'abord la place des $j$ chiffres $6$ : il y a $\binom nj$ tels choix. Ce choix fait, la suite de lancers a une probabilité égale à $\left(\frac 16\right)^j\left(\frac 56\right)^{n-j}$ de se réaliser. On a donc $$P(A_j)=\binom nj\left(\frac 16\right)^j\left(\frac 56\right)^{n-j}.$$ On conclut finalement que la probabilité d'obtenir au moins $k$ fois le chiffre $6$ vaut $$1-\sum_{j=0}^{k-1}\binom nj\left(\frac 16\right)^j\left(\frac 56\right)^{n-j}.$$

Si on note $k=n_A$, il y a $\binom k2$ choix de deux A possibles dans le texte. Mais on peut faire $\binom n2$ choix de deux lettres quelconques. La probabilité pour que l'on tire deux fois la lettre A est donc $$\frac{\binom{k}2}{\binom n2}=\frac{k(k-1)}{n(n-1)}.$$ Maintenant, l'événement "obtenir deux lettres identiques" est la réunion disjointe des événements "obtenir deux lettres A", "obtenir deux lettres B",..., "obtenir deux lettres Z". On en déduit la formule demandée.

On associe à l'expérience aléatoire l'univers des possibles $\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}^3$, muni de l'équiprobabilité. Ainsi, la probabilité d'un événement $A$ vaut $\card(A)/6^3$. On s'intéresse d'abord à l'événement $A=\{(a,b,c)\in\Omega;\ b^2-4ac>0\}$. Il suffit de dénombrer $A$. On commence par établir un petit tableau avec les valeurs de $4ac$ : $$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} c\backslash a&1&2&3&4&5&6\\\hline 1&4&8&12&16&20&24\\\hline 2&8&16&24&32&40&48\\\hline 3&12&24&36&48&60&72\\\hline 4&16&32&48&64&80&96\\\hline 5&20&40&60&80&100&120\\\hline 6&24&48&72&96&120&144 \end{array} $$ On calcule le cardinal de $A$ en regardant dans le tableau le nombre de valeurs de $a$ et $c$ pour lesquelles $b^2>4ac$, pour les 6 valeurs que peut prendre $b$. On trouve : $$\card(A)=0+0+3+5+14+16=38.$$ On en déduit : $$P(A)=\frac{38}{216}=\frac{19}{108}.$$ On note pareillement $B=\{(a,b,c)\in\Omega;\ b^2-4ac=0\}$ et $C=\{(a,b,c)\in\Omega;\ b^2-4ac<0\}$. Le même dénombrement prouve que : $$P(B)=\frac{5}{216}.$$ On peut calculer $P(C)$ de la même façon, ou remarquer que les 3 événement $A,B,C$ forment un système complet d'événements. On déduit alors : $$P(C)=1-P(A)-P(B)=\frac{173}{216}.$$

On va chercher la probabilité que deux personnes de la classe aient la même date d'anniversaire. Si elle est supérieure à 1/2, il ne faut pas accepter le pari. Il est plus facile de calculer la probabilité de l'événement complémentaire. On va donc chercher la probabilité que deux personnes n'ont pas la même date d'anniversaire et, pour simplifier, on va oublier que certaines années comportent un 29 février. Formalisons un peu le problème. Pour que deux personnes n'aient pas la même date d'anniversaire, on doit fabriquer une injection de $\{1,\dots,30\}$ dans $\{1,\dots,365\}$. Il y a $365\times 364\times\dots\times 336$ telles applications injectives. Il y a total de $365^{30}$ applications de $\{1,\dots,30\}$ dans $\{1,\dots,365\}$. La probabilité que deux personnes aient la même date d'anniversaire vaut donc $$1-\frac{365\times 364\times \dots\times336}{365^{30}}=1-\frac{364}{365}\times \dots\times \frac{336}{365}\simeq 1-0,293\simeq0,706$$ Refusez le pari!

L'énoncé nous dit que l'on cherche une probabilité $P$ telle que $P(\{1,\dots,k\})=\lambda k^2$. On a alors, pour $k=1,\dots,n$, $$P(\{k\})=P(\{1,\dots,k\})-P(\{1,\dots,k-1\})=\lambda k^2-\lambda (k-1)^2=2\lambda k-\lambda.$$ On va déterminer $\lambda$ en remarquant que $$P(\{1,\dots,n\})=1$$ ce qui entraîne $$\lambda n^2=1\iff \lambda=\frac1{n^2}.$$ La probabilité est donc définie par $$P(\{k\})=\frac{2k-1}{n^2}.$$ On vérifie aisément que réciproquement, cette probabilité vérifie que $P(\{1,\dots,k\})$ est proportionnelle à $k^2$.