$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Espaces probabilisés finis

Calcul de probabilités par dénombrement
Enoncé
On tire trois cartes au hasard dans un paquet de 32 cartes. Quelle est la probabilité de
  1. n'obtenir que des coeurs?
  2. que des as?
  3. deux coeurs et un pique?
On donnera le résultat sous forme de fraction irréductible.
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans une tombola, 1000 billets sont mis en vente, et deux billets sont gagnants. Combien faut-il acheter de billets pour avoir une probabilité supérieure à 1/2 d'avoir un billet gagnant.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n\geq 1$. On lance $n$ fois un dé parfaitement équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir
  1. au moins une fois le chiffre 6?
  2. au moins deux fois le chiffre 6?
  3. au moins $k$ fois le chiffre 6?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Indice de coïncidence d'un texte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On appelle indice de coïncidence d'un texte la probabilité pour que, si on tire simultanément deux lettres au hasard dans ce texte, ce soient les mêmes. Démontrer que si un texte est composé de $n$ lettres choisies parmi l'alphabet A,...,Z, alors son indice de coïncidence $I_c$ vaut : $$I_c=\frac{n_A(n_A-1)}{n(n-1)}+\cdots+\frac{n_B(n_B-1)}{n(n-1)}$$ où $n_A$ désigne le nombre de A dans le texte
Indication
Corrigé
Enoncé
On jette 3 fois un dé à 6 faces, et on note $a$, $b$ et $c$ les résultats successifs obtenus. On note $Q(x)=ax^2+bx+c$. Déterminer la probabilité pour que :
  • $Q$ ait deux racines réelles distinctes.
  • $Q$ ait une racine réelle double.
  • $Q$ n'ait pas de racines réelles.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Probabilité qu'une matrice soit diagonalisable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathcal E$ l'ensemble des matrices $2\times 2$ de la forme $\left(\begin{array}{cc} \veps_1&\veps_2\\ \veps_3&\veps_4 \end{array}\right)$ où les $\veps_i$ sont des réels valant $0$ ou $1$. On tire au hasard une matrice $M\in\mathcal E$ avec équiprobabilité. On considère les événements $A$="$M$ est diagonale", $B$="$M$ est triangulaire supérieure et non diagonale", $C$="$M$ est triangulaire inférieure et non diagonale" et $D$="$M$ n'est pas triangulaire".
  1. Déterminer la probabilité de chacun des événements précédents.
  2. Déterminer la probabilité que $M$ soit diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Le problème des anniversaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Vous êtes dans une classe de 30 élèves. Votre prof de maths veut parier avec vous 10 euros que deux personnes dans cette classe ont la même date d'anniversaire. Acceptez-vous le pari?
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour organiser une coupe, on organise un tirage au sort qui réunit $n$ équipes de basket-ball de 1ère division et $n$ équipes de 2ième division, de sorte que chaque équipe joue un match, et un seul.
  1. Calculer la probabilité $p_n$ que tous les matchs opposent une équipe de 1ère division à une équipe de 2ème division.
  2. Calculer la probabilité $q_n$ que tous les matchs opposent deux équipes de la même division.
  3. Montrer que pour tout $n\geq 1$, $\dis\frac{2^{2n-1}}{n}\leq \binom{2n}n\leq 2^{2n}.$
  4. En déduire $\lim_{n\to+\infty}p_n$ et $\lim_{n\to\infty}q_n$.
Indication
Corrigé
Probabilités non uniformes
Enoncé
On dispose d'un dé pipé tel que la probabilité d'obtenir une face soit proportionnelle au chiffre porté par cette face. On lance le dé pipé.
  1. Donner un espace probabilisé modélisant l'expérience aléatoire.
  2. Quelle est la probabilité d'obtenir un chiffre pair.
  3. Reprendre les questions si cette fois le dé est pipé de sorte que la probabilité d'une face paire soit le double de la probabilité d'une face impaire.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Déterminer une probabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$. Déterminer une probabilité sur $\{1,\dots,n\}$ telle que la probabilité de $\{1,\dots,k\}$ soit proportionnelle à $k^2$.
Indication
Corrigé