$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Probabilités conditionnelles et indépendance

Indépendance
Exercice 1 - Indépendance et contexte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une hasard, et on considère les événements $$A=\textrm{"tirage d'un nombre pair''},$$ $$B=\textrm{"tirage d'un multiple de 3''}.$$ Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants?
  2. Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Indépendance deux à deux et indépendance mutuelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Votre voisine a deux enfants dont vous ignorez le sexe. On considère les trois événement suivants :
  • $A$="les deux enfants sont de sexes différents"
  • $B$="l'ainé est une fille"
  • $C$="le cadet est un garçon".
Montrer que $A$, $B$ et $C$ sont deux à deux indépendants, mais ne sont pas mutuellement indépendants.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Probabilité d'une réunion et indépendance [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A_1, \dots,A_n$ $n$ événements d’un espace probabilisé $(\Omega,P)$. On les suppose mutuellement indépendants et de probabilités respectives $p_i = P(A_i)$. Donner une expression simple de $P(A_1\cup\dots\cup A_n)$ en fonction de $p_1,\dots,p_n$.
Application : on suppose qu'une personne est soumise à $n$ expériences indépendantes les unes des autres et qu'à chaque expérience, elle ait une probabilité $p$ d'avoir un accident. Quelle est la probabilité qu'elle ait au moins un accident?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Indépendance impossible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On suppose qu'on a un espace probabilisé tel que l'univers $\Omega$ est un ensemble fini de cardinal un nombre premier $p$, et que le modèle choisi soit celui de l'équiprobabilité. Prouver que deux événements $A$ et $B$ non triviaux (différent de $\varnothing$ et $\Omega$) ne peuvent pas être indépendants.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soient $A,\ B,\ C$ trois événements. Montrer que : $$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap B)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).$$
  2. On dispose de 3 composants électriques $C_1,\ C_2$ et $C_3$ dont la probabilité de fonctionnement est $p_i$, et de fonctionnement totalement indépendant les uns des autres. Donner la probabilité de fonctionnement du circuit
    1. si les composants sont disposés en série.
    2. si les composants sont disposés en parallèle.
    3. si le circuit est mixte : $C_1$ est disposé en série avec le sous-circuit constitué de $C_2$ et $C_3$ en parallèle.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un livre contient 4 erreurs, numérotées de 1 à 4, et est relu par une suite de relecteurs pour correction. A chaque relecture, chaque erreur est corrigée avec une probabilité 1/3. Les erreurs sont corrigées de manière indépendante les unes des autres, et les relectures sont indépendantes les unes des autres.
  1. Quelle est la probabilité que l’erreur numéro 1 ne soit pas corrigée à l’issue de la $n$-ième lecture ?
  2. Quelle est la probabilité que le livre soit entièrement corrigé à l’issue de la $n$-ième lecture ? Combien faut-il de relectures pour que cette probabilité soit supérieure à 0.9 ?
Corrigé
Enoncé
Soit $n>1$ un entier fixé. On choisit de manière équiprobable un entier $x$ dans $\{1,\dots,n\}$. Pour tout entier $m\leq n$, on note $A_m$ l'événement "$m$ divise $x$". On note également $B$ l'événement "$x$ est premier avec $n$". Enfin, on note $p_1,\dots,p_r$ les diviseurs premiers de $n$.
  1. Exprimer $B$ en fonction des $A_{p_k}$.
  2. Pour tout entier naturel $m$ qui divise $n$, calculer la probabilité de $A_m$.
  3. Montrer que les événements $A_{p_1},\dots,A_{p_r}$ sont mutuellement indépendants.
  4. En déduire la probabilité de $B$.
  5. Application : on note $\phi(n)$ le nombre d'entiers compris entre $1$ et $n$ qui sont premiers avec $n$. Démontrer que $$\phi(n)=n\prod_{k=1}^r \left(1-\frac{1}{p_k}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Deuxième lemme de Borel-Cantelli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé. Soit $(A_n)_{n\geq 0}$ une suite d'événements indépendants. On note $A=\limsup_n A_n$. On suppose que $\sum_n \mathbb P(A_n)=+\infty$ et on souhaite prouver que $\mathbb P(A)=1$.
  1. Préliminaire. Justifier que pour tout $x>-1$, $\ln(1+x)\leq x$.
  2. Soient $n\leq N$. On note $E_{n,N}=\bigcap_{k=n}^N \overline{A_k}$ et $E_n=\bigcap_{k\geq n}\overline{A_k}$.
    1. Démontrer que ($n$ étant fixé), $\lim_{N\to +\infty}\ln \big(\mathbb P(E_{n,N})\big)=-\infty.$
    2. En déduire que $\mathbb P(E_n)=0$.
    3. En déduire que $\mathbb P(A)=1$.
Indication
Corrigé
Probabilités conditionnelles
Exercice 9 - Probabilités composées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère une urne contenant 4 boules blanches et 3 boules noires. On tire une à une et sans remise 3 boules de l'urne. Quelle est la probabilité pour que la première boule tirée soit blanche, la seconde blanche et la troisième noire?
Indication
Corrigé
Enoncé
Dans une entreprise deux ateliers fabriquent les mêmes pièces. L'atelier 1 fabrique en une journée deux fois plus de pièces que l'atelier 2. Le pourcentage de pièces défectueuses est $3\%$ pour l'atelier 1 et $4\%$ pour l'atelier 2. On prélève une pièce au hasard dans l'ensemble de la production d'une journée. Déterminer
  1. la probabilité que cette pièce provienne de l'atelier 1;
  2. la probabilité que cette pièce provienne de l'atelier 1 et est défectueuse;
  3. la probabilité que cette pièce provienne de l'atelier 1 sachant qu'elle est défectueuse.
Corrigé
Exercice 11 - A partir de dénombrement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une urne contient 8 boules blanches et 2 boules noires, indiscernables au toucher. On tire sans remise et successivement 3 boules de cette urne.
  1. Quelle est la probabilité qu'au moins une boule noire figure dans le tirage?
  2. Sachant qu'au moins une boule noire figure dans le tirage, quelle est la probabilité que la première boule tirée soit noire?
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Probabilité conditionnelle égale à probabilité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilité et $A$ un événement de probabilité non nulle. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\mathbb P_A=\mathbb P$.
Indication
Corrigé
Formule des probabilités totales
Enoncé
Un gène présent dans une population est formé de 2 allèles A et a. Un individu peut donc avoir l’un des trois génotypes suivants : AA, Aa, aa. Un enfant lors de la conception hérite d’un allèle de chacun de ses parents, chacun d’eux étant choisi au hasard. Ainsi si le père est du type AA et la mère de type Aa, les enfants peuvent être du type AA ou Aa. On considère une population (génération 0) et on note $p_0$, $q_0$ et $r_0$ les proportions respectives de chacun des phénotypes AA, Aa et aa. On admet que les couples se forment au hasard indépendamment des génotypes considérés.
  1. Donner, en fonction de $p_0,q_0$ et $r_0$ la probabilité $p_1$ qu'un enfant de la génération 1 ait un génotype AA.
  2. Donner de même $r_1$, puis $q_1$.
  3. Démontrer que $p_1$, $q_1$ et $r_1$ s'expriment uniquement en fonction de $\alpha=p_0-r_0$. Que peut-on dire de $p_1-r_1$.
  4. Donner les probabilités $p_2, q_2$ et $r_2$ qu'un enfant de la génération 2 ait pour génotype respectivement AA, Aa et aa. Que peut-on conclure?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une information est transmise à l'intérieur d'une population. Avec une probabilité $p$, c'est l'information correcte qui est transmise à chaque étape d'une personne à une autre. Avec une probabilité $1-p$, c'est l'information contraire qui est transmise. On note $p_n$ la probabilité que l'information après $n$ transmissions soit correcte.
  1. Donner une relation de récurrence entre $p_{n+1}$ et $p_n$.
  2. En déduire la valeur de $p_n$ en fonction de $p$ et de $n$.
  3. En déduire la valeur de $\lim_n p_n$. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une particule se trouve à l'instant 0 au point d'abscisse $a$ ($a$ entier), sur un segment gradué de $0$ à $N$ (on suppose donc $0\leq a\leq N$). A chaque instant, elle fait un bond de $+1$ avec la probabilité $p$ ($0<p<1/2$), ou un bond de $-1$ avec la probabilité $q=1-p$. Autrement dit, si $x_n$ est l'abscisse de la particule à l'instant $n$, on a : $$x_{n+1}=\left\{\begin{array}{ll} x_n+1&\textrm{avec probabilité $p$}\\ x_n-1&\textrm{avec probabilité $1-p$.} \end{array}\right.$$ Le processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités du segment (i.e. s'il existe $x_n$ avec $x_n=0$ ou $x_n=N$).
  1. Écrire un algorithme qui simule cette marche aléatoire. En particulier, cet algorithme prendra en entrée l'abscisse $a$ de départ, la longueur $N$ du segment, et produira en sortie un message indiquant si la marche s'arrête en 0 ou en $N$, et le nombre de pas nécessaires pour que le processus s'arrête. On supposera qu'on dispose d'une fonction alea() qui retourne un nombre aléatoire suivant une loi uniforme sur $[0,1]$.
  2. On note $u_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $0$.
    1. Que vaut $u_0$? $u_N$?
    2. Montrer que si $0<a<N$, alors $u_a={pu_{a+1}}+qu_{a-1}$.
    3. En déduire l'expression exacte de $u_a$.
  3. On note $v_a$ la probabilité pour que la particule partant de $a$, le processus s'arrête en $N$. Reprendre les questions précédentes avec $v_a$ au lieu de $u_a$.
  4. Calculer $u_a+v_a$. Qu'en déduisez-vous?
Indication
Corrigé
Enoncé
Le sommets d'un triangle équilatéral sont numérotés 1, 2 et 3. Une puce saute de sommet en sommet de la façon suivante : si à l'instant $n$ elle se trouve sur un sommet donné, elle saute à l'instant $n+1$ vers l'un des deux sommets voisins avec probabilité 1/2. On note $X_n$ la position de la puce à l'instant $n$.
  1. On suppose dans cette question seulement que $X_0$ suit une loi uniforme sur l'ensemble $\left\{1,2,3\right\}$. Décrire la loi de $X_1$ puis la loi de $X_n$ pour $n\ge 1$.
    On s'intéresse maintenant au cas général. On note $U_n=\begin{pmatrix}P[X_n=1]\\P[X_n=2]\\P[X_n=3]\end{pmatrix}$.
  2. Montrer qu'il existe une matrice $A$ que l'on déterminera telle que pour tout $n\ge 0$, $U_{n+1}=AU_n$.
  3. Montrer qu'il existe une matrice orthogonale $P$, qu'on ne cherchera pas à calculer, telle que $$A=P\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1/2&0\\0&0&-1/2\end{pmatrix}P^t\ .$$
  4. En déduire que la suite $(U_n)_{n\ge 0}$ converge vers un vecteur $U_\infty$ vérifiant $U_\infty=AU_\infty$.
  5. Que vaut $U_\infty$ ?
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Marche aléatoire sur un triangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Question préliminaire : Soit $M$ la matrice $$M=\left( \begin{array}{ccc} \frac 13&0&\frac 1{12}\\ \frac 13&1&\frac 7{12}\\ \frac 13&0&\frac 13 \end{array} \right).$$ Démontrer que $M$ est diagonalisable, et trouver $P$ inversible et $D$ diagonale telles que $M=PDP^{-1}$.
  2. On considère une particule se déplaçant à chaque seconde sur l'un des trois sommets $A$, $B$ et $C$ d'un triangle suivant le procédé suivant :
    • si la particule se trouve en $B$, elle y reste;
    • si la particule se trouve en $A$, elle se rend la seconde suivante sur l'un des trois sommets de façon équiprobable;
    • si la particule se trouve en $C$, à la seconde suivante, elle y reste une fois sur trois, sinon elle va en $B$ sept fois plus souvent qu'en $A$.
    A la première seconde, la particule se pose de façon équiprobable sur un des trois sommets. Pour tout $n\geq 1$, on note $A_n$ (resp. $B_n$, $C_n$) l'événement "à la $n$-ième seconde, la particule se trouve en $A$" (resp. $B$ et $C$), et on note $a_n$, $b_n$ et $c_n$ les probabilités respectives de $A_n$, $B_n$ et $C_n$.
    Que valent $a_1$, $b_1$ et $c_1$?
  3. Donner une relation de récurrence entre $a_{n+1}$, $b_{n+1}$, $c_{n+1}$ et $a_n$, $b_n$ et $c_n$.
  4. On note, pour $n\geq 1$, $X_n$ le vecteur $X_n=\left(\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\end{array}\right)$. Vérifier que $X_{n+1}=MX_n$.
  5. En déduire la valeur de $a_n$, $b_n$ et $c_n$.
  6. Étudier la convergence des suites $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$.
Indication
Corrigé
Formule de Bayes
Enoncé
Le gérant d'un magasin d'informatique a reçu un lot de boites de CD-ROM. $5\%$ des boites sont abîmées. Le gérant estime que :
  • $60\%$ des boites abîmées contiennent au moins un CD-ROM défectueux.
  • $98\%$ des boites non abîmées ne contiennent aucun CD-ROM défectueux.
Un client achète une boite du lot. On désigne par $A$ l'événement : ``la boite est abimée'' et par $D$ l'événement ``la boite achetée contient au moins une disquette défectueuse''.
  1. Donner les probabilités de $P(A)$, $P(\bar A)$, $P(D|A)$, $P(D|\bar A)$, $P(\bar D|A)$ et $P(\bar D|\bar A)$. En déduire la probabilité de $D$.
  2. Le client constate qu'un des CD-ROM achetés est défectueux. Quelle est a la probabilité pour qu'il ait acheté une boite abimée.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un questionnaire à choix multiples propose $m$ réponses pour chaque question. Soit $p$ la probabilité qu'un étudiant connaisse la bonne réponse à une question donnée. S'il ignore la réponse, il choisit au hasard l'une des réponses proposées. Quelle est pour le correcteur la probabilité qu'un étudiant connaisse vraiment la bonne réponse lorsqu'il l'a donnée?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d'apparition d'un six soit de 1/2. On choisit un dé au hasard, on le jette, et on obtient un 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 0,05 de pièces défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que :
  • si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0,96.
  • si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0,98.
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle.Quelle est la probabilité
  1. qu'il y ait une erreur de contrôle?
  2. qu'une pièce acceptée soit mauvaise?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une compagnie d'assurance répartit ses clients en trois classes $R_1$, $R_2$ et $R_3$ : les bons risques, les risques moyens, et les mauvais risques. Les effectifs de ces trois classes représentent $20\%$ de la population totale pour la classe $R_1$, $50\%$ pour la classe $R_2$, et $30\%$ pour la classe $R_3$. Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident au cours de l'année pour une personne de l'une de ces trois classes sont respectivement de 0.05, 0.15 et 0.30.
  1. Quelle est la probabilité qu'une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année?
  2. Si M.Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque?
Indication
Corrigé
Enoncé
Une forêt se compose de trois types d'arbres : 30% sont des chênes, 50% des peupliers, et 20% des hêtres. Suite à une tempête, une maladie se déclare et touche 10% des chênes, 4% des peupliers, et 25% des hêtres. Sachant qu'un arbre est malade, quelle est la probabilité que ce soit un chêne? un peuplier? un hêtre?
Indication
Corrigé
Enoncé
Vous êtes directeur de cabinet du ministre de la santé. Une maladie est présente dans la population, dans la proportion d'une personne malade sur $10000$. Un responsable d'un grand laboratoire pharmaceutique vient vous vanter son nouveau test de dépistage : si une personne est malade, le test est positif à $99\%$. Si une personne n'est pas malade, le test est positif à $0,1\%$. Autorisez-vous la commercialisation de ce test?
Indication
Corrigé
Enoncé
Vous jouez à pile ou face avec un autre joueur. Il parie sur pile, lance la pièce, et obtient pile. Quelle est la probabilité pour qu'il soit un tricheur?
Indication
Corrigé
Enoncé
Un joueur décide de jouer aux machines à sous. Il va jouer sur deux machines ${\mathcal A}$ et ${\mathcal B}$ qui sont réglées de la facon suivante :
  • la probabilité de gagner sur la machine ${\mathcal A}$ est de $\frac15$ ;
  • la probabilité de gagner sur la machine ${\mathcal B}$ est de $\frac1{10}$.
Comme le joueur soupçonne les machines d'avoir des réglages différents, mais ne sait pas laquelle est la plus favorable, il décide d'adopter la stratégie suivante :
  • il commence par choisir une machine au hasard ;
  • après chaque partie, il change de machine s'il vient de perdre, il rejoue sur la même machine s'il vient de gagner.
On définit pour tout $k\ge 1$ les événements suivants :
  • $G_k$ : "Le joueur gagne la $k$-ième partie".
  • $A_k$ : "La $k$-ième partie se déroule sur la machine ${\mathcal A}$".
  1. Écrire un algorithme qui simule le déroulement de $n$ parties et retourne la proportion de parties gagnées parmi ces $n$ parties.
  2. Determiner la probabilité de gagner la première partie.
  3. Déterminer la probabilité de gagner la deuxième partie.
  4. Sachant que la deuxième partie a été gagnée, quelle est la probabilité que la première partie ait eu lieu sur la machine ${\mathcal A}$?
  5. Soit $k\ge 1$.
    1. Exprimer $P(G_k)$ en fonction de $P(A_k)$.
    2. Montrer que $P(A_{k+1})=-\frac7{10}P(A_k)+\frac9{10}$.
    3. En déduire $P(A_k)$ puis $P(G_k)$ en fonction de $k$.
    4. Pour $n\ge 1$, on pose $S_n=\sum_{k=1}^nP(G_k)$. Calculer $S_n$ puis déterminer la limite de $\frac{S_n}n$ quand $n\to+\infty$.
Indication
Corrigé
Variables aléatoires indépendantes
Exercice 27 - Probabilité que la somme soit grande [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_i)_{i\in\mathbb N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toutes la même loi. On pose, pour $n\geq 1$, $S_n=X_1+\dots+X_n$ et on considère $a\in\mathbb R$. Démontrer l'équivalence suivante : $$P(X_1\geq a)>0\iff \forall n\geq 1,\ P(S_n\geq na)>0.$$
Indication
Corrigé