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Exercices corrigés - Espaces probabilisés
Enoncé
Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
- Deux événements incompatibles sont indépendants.
- Deux événements indépendants sont incompatibles.
- Si $P(A)+P(B)=1$, alors $A=\bar B$.
- Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
- Soit $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(B_p)_{p\in\mathbb N}$ deux systèmes complets d'événements. Alors $(A_n\cap B_p)_{(n,p)\in\mathbb N^2}$ est un système complet d'événement.
Tribus
Enoncé
Soit $\Omega=\mathbb Z$. On considère $\mathcal T$ la tribu engendrée
par les ensembles $S_n=\{n,n+1,n+2\}$ avec $n\in\mathbb Z.$
Quels sont les éléments de la tribu $\mathcal T$?
Enoncé
Soit $E$ et $F$ deux ensembles, $\mathcal T$ une tribu sur $F$ et $\phi:E\to F$ une application. Montrer que $\mathcal T'=\{\phi^{-1}(A);\ A\in\mathcal T\}$ est une tribu sur $E$.
Enoncé
Soit $X$ un ensemble non-vide et $A_1,\dots,A_n$ une partition de $X$.
On note
$$\mathcal T=\left\{\bigcup_{i\in J}A_i;\ J\subset\{1,\dots,n\}\right\}.$$
Démontrer que $\mathcal T$ est la tribu engendrée par $A_1,\dots,A_n$.
Enoncé
Soit $E$ un ensemble infini et $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ une partition de $E$. Pour toute partie $J$ de $\mathbb N$, on pose $B_J=\bigcup_{j\in J}A_j$.
- Démontrer que $\mathcal T=\{B_J;\ J\in\mathcal P(\mathbb N)\}$ est une tribu sur $E$ et que c'est la plus petite tribu contenant tous les $A_n$.
- Trouver une partition $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ de $\mathbb N$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $A_n$ n'est pas fini.
- Trouver une tribu incluse dans $\mathcal P(\mathbb N)$, de cardinal infini, dont tous les éléments, sauf l'ensemble vide, sont de cardinal infini.
Exercices théoriques
Enoncé
Soit $\Omega$ un univers et soient $A,B,C$ trois événements de $\Omega$. Traduire en termes ensemblistes
(en utilisant uniquement les symboles d'union, d'intersection et de passage au complémentaire, ainsi que $A$, $B$
et $C$) les événements suivants :
- Seul $A$ se réalise;
- $A$ et $B$ se réalisent, mais pas $C$.
- les trois événements se réalisent;
- au moins l'un des trois événements se réalise;
- au moins deux des trois événements se réalisent;
- aucun ne se réalise;
- au plus l'un des trois se réalise;
- exactement deux des trois se réalisent;
Exercice 7 - Sur la probabilité de l'intersection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé. Démontrer que
$$\max\big(0,P(A)+P(B)-1\big)\leq P(A\cap B)\leq \min\big(P(A),P(B)\big).$$
Enoncé
Soient $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé, et $A_1,\dots,A_n$
des événements. Démontrer que
$$\mathbb P(A_1\cap\dots\cap A_n)\geq \left(\sum_{i=1}^n \mathbb P(A_i)\right)-(n-1).$$
Enoncé
On lance une pièce une infinité de fois. Pour $n\geq 1$, on note $A_n$ l'événement
``le $n$-ème lancer amène pile''.
- Décrire par une phrase les événements suivants : $$B=\bigcap_{i=5}^{+\infty}A_i,\ C=\bigcup_{i=5}^{+\infty}A_i.$$
- Écrire à l'aide de $A_i$ l'événement $D$=``On n'obtient plus que des piles à partir d'un certain lancer''.
Limites inférieures et supérieures
Exercice 10 - Limites supérieures et inférieures d'ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ensemble et $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ une suite de parties de $\Omega$. On appelle limite supérieure des $A_n$, et on note
$\limsup_n A_n$ l'ensemble des éléments de $\Omega$ qui appartiennent à une infinité de $A_n$.
On appelle limite inférieure des $A_n$, et on note $\liminf_n A_n$, l'ensemble
des éléments de $\Omega$ qui appartiennent à tous les $A_n$, sauf un nombre fini d'entre eux.
- Déterminer les ensembles $\limsup_n A_n$ et $\liminf_n A_n$ dans les cas suivants :
- $A_n=]-\infty,n]$;
- $A_n=]-\infty,-n]$;
- $A_{2n}=A$, $A_{2n+1}=B$;
- $A_n=]-\infty,(-1)^n]$.
- Écrire les définitions de $\liminf_n A_n$ et $\limsup_n A_n$ avec les quantificateurs $\forall$ et $\exists$. Les traduire en termes ensemblistes à l'aide de $\bigcap$ et $\bigcup$.
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires et soient $a,b$ deux réels. On note $E_a$
et $F_b$ les événements suivants :
$$E_a=\limsup_n \{X_n\geq a\}\textrm{ et }F_b=\{\limsup_n X_n\geq b\}.$$
Comparer, suivant la position relative de $a$ et $b$, les événements $E_a$ et $F_b$.
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé. Soit $(A_n)_{n\geq 0}$ une suite d'événements.
On note $A=\limsup_n A_n=\bigcap_{n\geq 0}\bigcup_{k\geq n}A_k$. On suppose que $\sum_n \mathbb P(A_n)<+\infty$. Pour $n\geq 1$, on note
$D_n=\bigcup_{k=n}^{+\infty}A_k$.
- Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\mathbb P(D_n)=0$;
- En déduire que $\mathbb P(A)=0$. Interpréter ce résultat.