$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Espaces probabilisés

Enoncé
Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses?
  1. Deux événements incompatibles sont indépendants.
  2. Deux événements indépendants sont incompatibles.
  3. Si $P(A)+P(B)=1$, alors $A=\bar B$.
  4. Si $A$ et $B$ sont deux événements indépendants, alors $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
  5. Soit $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ et $(B_p)_{p\in\mathbb N}$ deux systèmes complets d'événements. Alors $(A_n\cap B_p)_{(n,p)\in\mathbb N^2}$ est un système complet d'événement.
Corrigé
Tribus
Enoncé
Soit $\Omega=\mathbb Z$. On considère $\mathcal T$ la tribu engendrée par les ensembles $S_n=\{n,n+1,n+2\}$ avec $n\in\mathbb Z.$ Quels sont les éléments de la tribu $\mathcal T$?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Tribu image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ et $F$ deux ensembles, $\mathcal T$ une tribu sur $F$ et $\phi:E\to F$ une application. Montrer que $\mathcal T'=\{\phi^{-1}(A);\ A\in\mathcal T\}$ est une tribu sur $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ un ensemble non-vide et $A_1,\dots,A_n$ une partition de $X$. On note $$\mathcal T=\left\{\bigcup_{i\in J}A_i;\ J\subset\{1,\dots,n\}\right\}.$$ Démontrer que $\mathcal T$ est la tribu engendrée par $A_1,\dots,A_n$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Tribu engendrée par une partition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble infini et $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ une partition de $E$. Pour toute partie $J$ de $\mathbb N$, on pose $B_J=\bigcup_{j\in J}A_j$.
  1. Démontrer que $\mathcal T=\{B_J;\ J\in\mathcal P(\mathbb N)\}$ est une tribu sur $E$ et que c'est la plus petite tribu contenant tous les $A_n$.
  2. Trouver une partition $(A_n)_{n\in\mathbb N}$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $A_n$ n'est pas fini.
  3. Trouver une tribu incluse dans $\mathcal P(\mathbb N)$, de cardinal infini, dont tous les éléments, sauf l'ensemble vide, sont de cardinal infini.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Enoncé
Soit $\Omega$ un univers et soient $A,B,C$ trois événements de $\Omega$. Traduire en termes ensemblistes (en utilisant uniquement les symboles d'union, d'intersection et de passage au complémentaire, ainsi que $A$, $B$ et $C$) les événements suivants :
  1. Seul $A$ se réalise;
  2. $A$ et $B$ se réalisent, mais pas $C$.
  3. les trois événements se réalisent;
  4. au moins l'un des trois événements se réalise;
  5. au moins deux des trois événements se réalisent;
  6. aucun ne se réalise;
  7. au plus l'un des trois se réalise;
  8. exactement deux des trois se réalisent;
Corrigé
Exercice 7 - Sur la probabilité de l'intersection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$ et $B$ deux événements d'un espace probabilisé. Démontrer que $$\max\big(0,P(A)+P(B)-1\big)\leq P(A\cap B)\leq \min\big(P(A),P(B)\big).$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Inégalité de Bonferroni [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé, et $A_1,\dots,A_n$ des événements. Démontrer que $$\mathbb P(A_1\cap\dots\cap A_n)\geq \sum_{i=1}^n \mathbb P(A_i)-(n-1).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On lance une pièce une infinité de fois. Pour $n\geq 1$, on note $A_i$ l'événement ``le i-ème lancer amène pile''.
  1. Décrire par une phrase les événements suivants : $$B=\bigcap_{i=5}^{+\infty}A_i,\ C=\bigcup_{i=5}^{+\infty}A_i.$$
  2. Écrire à l'aide de $A_i$ l'événement $D$=``On n'obtient plus que des piles à partir d'un certain lancer''.
Corrigé
Limites inférieures et supérieures
Exercice 10 - Limites supérieures et inférieures d'ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ensemble. On appelle \emph{limite supérieure} des $A_n$, et on note $\limsup_n A_n$ l'ensemble des éléments de $\Omega$ qui appartiennent à une infinité de $A_n$. On appelle \emph{limite inférieure} des $A_n$, et on note $\liminf_n A_n$, l'ensemble des éléments de $\Omega$ qui appartiennent à tous les $A_n$, sauf un nombre fini d'entre eux.
  1. Déterminer les ensembles $\limsup_n A_n$ et $\liminf_n A_n$ dans les cas suivants :
    1. $A_n=]-\infty,n]$;
    2. $A_n=]-\infty,-n]$;
    3. $A_{2n}=A$, $A_{2n+1}=B$;
    4. $A_n=]-\infty,(-1)^n]$.
  2. Écrire les définitions de $\liminf_n A_n$ et $\limsup_n A_n$ avec les quantificateurs $\forall$ et $\exists$. Les traduire en termes ensemblistes à l'aide de $\bigcap$ et $\bigcup$.
Corrigé
Exercice 11 - Limite sup ou limite sup? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires et soient $a,b$ deux réels. On note $E_a$ et $F_b$ les événements suivants : $$E_a=\limsup_n \{X_n\geq a\}\textrm{ et }F_b=\{\limsup_n X_n\geq b\}.$$ Comparer, suivant la position relative de $a$ et $b$, les événements $E_a$ et $F_b$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Premier lemme de Borel-Cantelli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal F,\mathbb P)$ un espace probabilisé. Soit $(A_n)_{n\geq 0}$ une suite d'événements. On note $A=\limsup_n A_n=\bigcap_{n\geq 0}\bigcup_{k\geq n}A_k$. On suppose que $\sum_n \mathbb P(A_n)<+\infty$. Pour $n\geq 1$, on note $D_n=\bigcup_{k=n}^{+\infty}A_k$.
  1. Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\mathbb P(D_n)=0$;
  2. En déduire que $\mathbb P(A)=0$. Interpréter ce résultat.
Indication
Corrigé