$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Dénombrements (coefficients binomiaux)

Coefficients binomiaux comme nombre de parties
Exercice 1 - Une extension de la formule du triangle de Pascal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'ensemble à 12 éléments $\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$.
  1. Dénombrer les parties de $E$ à 5 éléments qui contiennent
    1. $a$ et $b$;
    2. $a$ mais pas $b$;
    3. $b$ mais pas $a$;
    4. ni $a$, ni $b$.
  2. En déduire la relation $$\binom{12}5=\binom{10}3+2\binom{10}4+\binom{10}5.$$
  3. Généraliser le résultat obtenu en prouvant, par un dénombrement, que pour $2\leq p\leq n$, on a $$\binom np=\binom{n-2}{p-2}+2\binom{n-2}{p-1}+\binom{n-2}p.$$
  4. Retrouver le résultat précédent en appliquant la formule du triangle de Pascal.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $1\leq p\leq n$. On considère $n$ boules et deux boîtes $A$ et $B$. Un échantillon est constitué d'une boule dans la boîte $A$ et de $p-1$ boules dans la boîte $B$. En dénombrant de deux façons différentes ces échantillons, établir la formule $$n\binom{n-1}{p-1}=p\binom np.$$ Retrouver cette formule par le calcul.
Corrigé
Enoncé
Un livre comporte 14 chapitres.
  1. Combien y-a-t-il de façons de choisir $3$ chapitres dans ce livre?
  2. Pour $k=3,\dots,14$, dénombrer les choix de 3 chapitres pour lesquels $k$ est le plus grand numéro des chapitres choisis.
  3. En déduire que $$\binom {14}3 = \binom{13}2+\binom{12}2+\cdots+\binom{3}{2}+\binom{2}2.$$
  4. Généraliser les dénombrements précédents pour démontrer que, pour $1\leq p\leq n$, on a $$\sum_{k=p}^n \binom kp=\binom{n+1}{p+1}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Une extension de la formule du triangle de Pascal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $p,q,m$ des entiers naturels, avec $q\leq p\leq m$. Démontrer par un dénombrement que $$\binom mp=\sum_{j=0}^q \binom qj\times \binom{m-q}{p-j}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer par un dénombrement que, pour $n\geq 1$, on a : $$\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n,p$ des entiers naturels avec $n\geq p$. Démontrer par dénombrement que $$\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}=\dbinom{n+1}{p+1}.$$
Indication
Corrigé
Coefficients binomiaux comme chemins dans l'arbre
Exercice 7 - Somme des coefficients binomiaux au carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ un entier non nul. On considère l'arbre modélisant la répétition de $2n$ épreuves aléatoires identiques d'un schéma de Bernoulli.
  1. Dans cet arbre, quel est le nombre de chemins avec exactement $n$ succès?
    1. Quel est le nombre de chemins permettant d'obtenir $0$ succès lors des $n$ premières épreuves, puis $n$ succès lors des $n$ dernières épreuves?
    2. Dans cet arbre, que vaut le produit $\binom nk\times\binom n{n-k}$ pour $k$ entier naturel compris entre $0$ et $n$?
  2. Déduire des questions précédentes l'expression de la somme suivante en fonction de $n$ : $$\sum_{k=0}^n {\binom nk}^2.$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Une formule sur les coefficients binomiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a,b,n$ des entiers naturels avec $a>n$ et $b>n$. On considère l'arbre d'un schéma de Bernoulli consistant en la répétition de $a+b$ épreuves identiques.
  1. Soit $0\leq k\leq n$. Que compte $\binom ak\times \binom b{n-k}$ pour cet arbre?
  2. En déduire que $\binom {a+b}n=\sum_{k=0}^n \binom a k\times \binom b{n-k}$.
Corrigé