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Exercices corrigés - Dénombrements (coefficients binomiaux)
Travail algébrique sur les coefficients binomiaux
Exercice 1 - Exercices avec des coefficients binomiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les deux équations suivantes, d'inconnue $n\in\mathbb N$ :
- $4\binom n8=\binom n9,$ avec $n\geq 9.$
- $\binom{3n}1+\binom{3n}2+\binom{3n}3=115n,$ avec $n\geq 1.$
Coefficients binomiaux comme nombre de parties
Exercice 2 - Une extension de la formule du triangle de Pascal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'ensemble à 12 éléments $\{a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l\}$.
- Dénombrer les parties de $E$ à 5 éléments qui contiennent
- $a$ et $b$;
- $a$ mais pas $b$;
- $b$ mais pas $a$;
- ni $a$, ni $b$.
- En déduire la relation $$\binom{12}5=\binom{10}3+2\binom{10}4+\binom{10}5.$$
- Généraliser le résultat obtenu en prouvant, par un dénombrement, que pour $2\leq p\leq n$, on a $$\binom np=\binom{n-2}{p-2}+2\binom{n-2}{p-1}+\binom{n-2}p.$$
- Retrouver le résultat précédent en appliquant la formule du triangle de Pascal.
Enoncé
Soit $1\leq p\leq n$. On considère $n$ boules et deux boîtes $A$ et $B$. Un échantillon est constitué d'une boule dans la boîte $A$ et de $p-1$ boules dans la boîte $B$. En dénombrant de deux façons différentes ces échantillons, établir la formule $$n\binom{n-1}{p-1}=p\binom np.$$
Retrouver cette formule par le calcul.
Enoncé
Un livre comporte 14 chapitres.
- Combien y-a-t-il de façons de choisir $3$ chapitres dans ce livre?
- Pour $k=3,\dots,14$, dénombrer les choix de 3 chapitres pour lesquels $k$ est le plus grand numéro des chapitres choisis.
- En déduire que $$\binom {14}3 = \binom{13}2+\binom{12}2+\cdots+\binom{3}{2}+\binom{2}2.$$
- Généraliser les dénombrements précédents pour démontrer que, pour $1\leq p\leq n$, on a $$\sum_{k=p}^n \binom kp=\binom{n+1}{p+1}.$$
Exercice 5 - Une extension de la formule du triangle de Pascal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $p,q,m$ des entiers naturels, avec $q\leq p\leq m$. Démontrer par un dénombrement que
$$\binom mp=\sum_{j=0}^q \binom qj\times \binom{m-q}{p-j}.$$
Enoncé
Démontrer par un dénombrement que, pour $n\geq 1$, on a :
$$\binom{2n}{n}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2.$$
Enoncé
Soit $n,p$ des entiers naturels avec $n\geq p$. Démontrer par dénombrement que
$$\sum_{k=p}^n \dbinom{k}{p}=\dbinom{n+1}{p+1}.$$
Coefficients binomiaux comme chemins dans l'arbre
Exercice 8 - Somme des coefficients binomiaux au carré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ un entier non nul. On considère l'arbre modélisant la répétition de $2n$ épreuves aléatoires identiques d'un schéma de Bernoulli.
- Dans cet arbre, quel est le nombre de chemins avec exactement $n$ succès?
-
- Quel est le nombre de chemins permettant d'obtenir $0$ succès lors des $n$ premières épreuves, puis $n$ succès lors des $n$ dernières épreuves?
- Dans cet arbre, que vaut le produit $\binom nk\times\binom n{n-k}$ pour $k$ entier naturel compris entre $0$ et $n$?
- Déduire des questions précédentes l'expression de la somme suivante en fonction de $n$ : $$\sum_{k=0}^n {\binom nk}^2.$$
Exercice 9 - Une formule sur les coefficients binomiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a,b,n$ des entiers naturels avec $a>n$ et $b>n$. On considère l'arbre d'un schéma de Bernoulli consistant en la répétition de $a+b$ épreuves identiques.
- Soit $0\leq k\leq n$. Que compte $\binom ak\times \binom b{n-k}$ pour cet arbre?
- En déduire que $\binom {a+b}n=\sum_{k=0}^n \binom a k\times \binom b{n-k}$.