$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Relations d'équivalence et relations d'ordre

Pour comprendre le cours
Enoncé
Dire si les relations suivantes sont réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives :
  1. $E=\mathbb Z$ et $x\mathcal R y\iff x=-y$;
  2. $E=\mathbb R$ et $x\mathcal R y\iff \cos^2 x+\sin^2 y=1$;
  3. $E=\mathbb N$ et $x\mathcal R y\iff \exists p,q\geq 1,\ y=px^q$ ($p$ et $q$ sont des entiers).
Quelles sont parmi les exemples précédents les relations d'ordre et les relations d'équivalence?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Classe d'équivalence sur $\mathbb R^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Sur $\mathbb R^2$, on définit la relation d'équivalence $\mathcal R$ par $$(x,y)\mathcal R (x',y')\iff x=x'.$$ Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence, puis déterminer la classe d'équivalence d'un élément $(x_0,y_0)\in\mathbb R^2$.
Corrigé
Exemples plus avancés
Exercice 3 - Relation d'équivalence et fonction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit sur $\mathbb R$ la relation $x\mathcal R y$ si et seulement si $x^2-y^2=x-y$.
  1. Montrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence.
  2. Calculer la classe d'équivalence d'un élément $x$ de $\mathbb R$. Combien y-a-t-il d'éléments dans cette classe?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Parties égales ou égales au complémentaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble. On définit sur $\mathcal P(E)$, l'ensemble des parties de $E$, la relation suivante : $$A\mathcal R B\textrm{ si }A=B\textrm{ ou }A=\bar B,$$ où $\bar B$ est le complémentaire de $B$ (dans $E$). Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Une relation d'équivalence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit sur $\mathbb Z$ la relation $x\mathcal R y$ si et seulement si $x+y$ est pair. Montrer qu'on définit ainsi une relation d'équivalence. Quelles sont les classes d'équivalence de cette relation?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Une relation d'ordre sur les entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que la relation $p\mathcal R q\iff \exists k\in\mathbb N^*,\ q=p^k$ munit $\mathbb N^*$ d'une structure partiellement ordonnée. Déterminer les majorants de $\{2,3\}$ pour cet ordre.
Indication
Corrigé
Enoncé
On définir sur $\mathbb R^2$ la relation $\prec$ par $$(x,y)\prec (x',y')\iff \big( (x<x')\textrm{ ou }(x=x'\textrm{ et }y\leq y')\big).$$ Démontrer que ceci définit une relation d'ordre sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Ordre sur $\mathbb R^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit $\mathbb R^2$ de la relation notée $\prec$ définie par $$(x,y)\prec (x',y')\iff x\leq x'\textrm{ et }y\leq y'.$$
  1. Démontrer que $\prec$ est une relation d'ordre sur $\mathbb R^2$. L'ordre est-il total?
  2. Le disque fermé de centre $O$ et de rayon 1 a-t-il des majorants? un plus grand élément? une borne supérieure?
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Relation d'équivalence et théorie des ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble non-vide et $\alpha\subset\mathcal P(E)$ vérifiant la propriété suivante : $$\forall X,Y\in\alpha,\ \exists Z\in\alpha, Z\subset (X\cap Y).$$ On définit sur $\mathcal P(E)$ la relation $\sim$ par $A\sim B\iff \exists X\in\alpha,\ X\cap A=X\cap B$. Prouver que ceci définit une relation d'équivalence sur $\mathcal P(E)$. Quelles sont les classes d'équivalence de $\varnothing$ et de $E$?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Pas d'élément maximal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble ordonné. Démontrer que toute partie de $E$ admet un élément maximal si et seulement si toute suite croissante de $E$ est stationnaire.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Ordre bien fondé et ordre lexicographique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'un ordre $\leq$ sur un ensemble $E$ est bien fondé s'il n'existe pas de suite infinie strictement décroissante $(x_n)$ de $E$. Démontrer que $\mathbb N^2$ muni de l'ordre lexicographique est bien fondé.
Indication
Corrigé