$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Différents types de raisonnement : absurde, contraposée, récurrence

Raisonnement par l'absurde
Enoncé
On rappelle que $\sqrt 2$ est un nombre irrationnel.
  1. Démontrer que si $a$ et $b$ sont deux entiers relatifs tels que $a+b\sqrt 2=0$, alors $a=b=0$.
  2. En déduire que si $m,n,p$ et $q$ sont des entiers relatifs, alors $$m+n\sqrt 2=p+q\sqrt 2\iff (m=p\textrm{ et }n=q).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que si vous rangez $(n+1)$ paires de chaussettes dans $n$ tiroirs distincts, alors il y a au moins un tiroir contenant au moins $2$ paires de chaussettes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n>0$. Démontrer que si $n$ est le carré d'un entier, alors $2n$ n'est pas le carré d'un entier.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Nombres dans un intervalle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ un entier naturel. On se donne $n+1$ réels $x_0,x_1,\dots,x_n$ de $[0,1]$ vérifiant $0\leq x_0\leq x_1\leq\dots\leq x_n\leq 1$. On veut démontrer par l'absurde la propriété suivante : Il y a deux de ces réels qui sont distants de moins de $1/n$.
  1. Ecrire à l'aide de quantificateurs et des valeurs $x_i-x_{i-1}$ une formule logique équivalente à la propriété.
  2. Ecrire la négation de cette formule logique.
  3. Rédiger une démonstration par l'absurde de la propriété (on pourra montrer que $x_n-x_0>1$).
  4. Donnez-en une preuve en utilisant le principe des tiroirs.
Corrigé
Raisonnement par contraposée
Enoncé
Soit $n$ un entier. Énoncer et démontrer la contraposée de la proposition suivante :
Si $n^2$ est impair, alors $n$ est impair.
A-t-on démontré la proposition initiale?
Corrigé
Enoncé
Le but de cet exercice est de démontrer par contraposition la propriété suivante, pour $n\in\mtn^*$ :
Si l'entier $(n^2-1)$ n'est pas divisible par 8, alors l'entier $n$ est pair.
  1. Ecrire la contraposée de la proposition précédente.
  2. En remarquant qu'un entier impair $n$ s'écrit sous la forme $n=4k+r$ avec $k\in\mtn$ et $r\in\{1,3\}$ (à justifier), prouver la contraposée.
  3. A-t-on démontré la propriété de l'énoncé?
Corrigé
Enoncé
Soit $a \in \mathbb R$. Montrer que \[ \forall \varepsilon > 0,|a| \leq \varepsilon \implies a = 0. \]
Indication
Corrigé
Raisonnement par récurrence
Exercice 8 - Pour se mettre en confiance... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, on a $2^{n-1}\leq n!\leq n^n$.
Corrigé
Enoncé
Pour $n\in\mtn$, on considère la propriété suivante : $$P_n:\ 2^n>n^2.$$
  1. Montrer que l'implication $P_n\implies P_{n+1}$ est vraie pour $n\geq 3$.
  2. Pour quelles valeurs de $n$ la propriété $P_n$ est vraie?
Corrigé
Exercice 10 - Plusieurs paramètres? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ et pour tout réel $x>0$, on a $(1+x)^n\geq 1+nx$.
  1. La récurrence porte-t-elle sur $n$? Sur $x$? Sur les deux?
  2. Énoncer l'hypothèse de récurrence.
  3. Vérifier que $(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2$.
  4. Rédiger la démonstration.
Corrigé
Exercice 11 - Décomposition du nombre 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que, pour tout entier $n\geq 3$, on peut trouver $n$ entiers strictement positifs $x_1,\dots,x_n$, deux à deux distincts, tels que $$\frac1{x_1}+\cdots+\frac1{x_n}=1.$$
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Suite doublement récurrente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la suite $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ définie par $$\left\{ \begin{array}{l} a_0=a_1=1\\ \forall n\in\mathbb N^*,\ a_{n+1}=a_n+\frac 2{n+1}a_{n-1}. \end{array}\right. $$ Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $1\leq a_n\leq n^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la suite $(u_n)$ (suite de Fibonacci) définie par $u_0=u_1=1$ et, pour tout $n\geq 0$, $u_{n+2}=u_n+u_{n+1}$. Démontrer que la suite $(u_n)$ vérifie les propriétés suivantes :
  1. pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\geq n$;
  2. pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n u_{n+2}-u_{n+1}^2=(-1)^n$.
Avez-vous utilisé une récurrence simple ou une récurrence double?
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Démontrer qu'on peut partager un carré en 4 carrés, puis en 6 carrés, en 7 carrés, en 8 carrés.
  2. Démontrer que si on peut partager un carré en $n$ carrés, alors on peut le partager en $n+3$ carrés.
  3. Démontrer qu'on ne peut pas partager un carré en 2 carrés, en 3 carrés, en 5 carrés.
  4. Pour quelle(s) valeur(s) de $n$ peut-on partager un carré en $n$ carrés?
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Somme de tous les termes précédents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0=1$ et, pour tout $n\geq 0$, $u_{n+1}=u_0+u_1+\dots+u_n$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $u_n=2^{n-1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Une décomposition des entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que tout entier $n\in\mathbb N^*$ peut s'écrire de façon unique sous la forme $n=2^p(2q+1)$ où $(p,q)\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $d$ un entier supérieur ou égal à 1. Démontrer que pour tout $n\in\mathbb N$, il existe des entiers $q,r\in\mathbb N$ avec $0<r<d$ tels que $n=qd+r$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Une décomposition des entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que tout entier $n\geq 1$ peut s'écrire comme somme de puissances de 2 toutes distinctes.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Récurrence un peu compliquée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie de $\mathbb N^*$ possédant les trois propriétés suivantes :
  1. $1\in A$;
  2. $\forall n\in\mathbb N^*,\ n\in A\implies 2n\in A$;
  3. $\forall n\in\mathbb N^*,\ n+1\in A\implies n\in A$.
Démontrer que $A=\mathbb N^*$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Analyser une récurrence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\in\mathbb N}$ la suite définie par $u_0=0$ et, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_{n+1}=3u_n-2n+3$. On souhaite démontrer que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $u_n\geq n$. Voici les réponses de trois élèves à cette question. Analysez ces productions d'élèves, en mettant en évidence les compétences acquises et les difficultés restantes.
Élève 1 : Montrons par récurrence que, $\forall n\in\mathbb N, u_n\geq n$.
  • Initialisation : $u_0\geq 0$ donc $\mathcal P_0$ est vraie.
  • Hérédité : on suppose $\mathcal P_k$ vraie, c'est-à-dire $u_k\geq k$. Alors $$u_{k+1}\geq k\iff 3u_k-2k+3\geq k\iff 3u_k+3\geq 3k\iff u_k\geq k.$$
  • Bilan : $\mathcal P_0$ est vraie et, pour tout $k$, $\mathcal P_k\implies \mathcal P_{k+1}$. Donc $\mathcal P_n$ est vraie pour tout $n$.
Élève 2 :
  • Initialisation : la propriété est vraie au rang 0.
  • Hérédité : on suppose que $\mathcal P_n$, la propriété $u_n\geq n$ est vraie pour tout $n$. On étudie $\mathcal P_{n+1}$ : $$u_{n+1}=3u_n-2n+3=3(u_n+1)-2n.$$ Or $u_n\geq n$ donc $u_{n}+1>n$ donc $3(u_n+1)>3n$ et $3(u_n+1)-2n>n\iff u_{n+1}>n.$ $u_{n+1}$ est strictement supérieur à $n$ donc $u_{n+1}\geq n+1$. La propriété est vraie au rang $n+1$.
  • La propriété est donc héréditaire. De plus, elle est initialisée au rang $0$ donc $\mathcal P_n$ est vraie pour tout $n$.
Élève 3 : Montrons par récurrence que, pour tout $n\in\mathbb N$, $u_n\geq n$.
  • Initialisation : $u_0=0\geq 0$, donc la propriété est vraie au rang 0.
  • On suppose qu'il existe un entier $n$ tel que la propriété est vraie. Alors $$u_{n+1}=3u_n-2n+3\geq 3n-2n+1=n+1.$$ Donc la propriété est vraie au rang $n+1$.
Par le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout entier $n$.
Corrigé
Raisonnement par disjonction de cas
Enoncé
Démontrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, $|x-1|\leq x^2-x+1$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Une inéquation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre l'inéquation $x-1\leq \sqrt{x+2}$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Reste dans la division par quatre d'une somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que si $n$ est la somme de deux carrés, alors le reste de la division euclidienne de $n$ par 4 est toujours différent de $3$.
Indication
Corrigé
Raisonnement par analyse-synthèse
Exercice 24 - Une équation avec des racines carrées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les réels $x$ tels que $\sqrt{2-x}=x$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ telles que, pour tous $x,y\in\mathbb R$, $$f(x)\times f(y)-f(x\times y)=x+y.$$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et telles que, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$, $$f(x+y)=f(x)+f(y).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$. Démontrer que $f$ s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et somme d'une fonction impaire.
Indication
Corrigé