$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Bases de la logique - propositions - quantificateurs

Opérateurs logiques et tables de vérité
Exercice 1 - Autour de l'implication [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver des propositions $P$ et $Q$ telles que
  1. $P\implies Q$ est vrai et $Q\implies P$ est vrai.
  2. $P\implies Q$ est faux et $Q\implies P$ est vrai.
  3. $P\implies Q$ est faux et $Q\implies P$ est faux.
Corrigé
Enoncé
Soit $A$, $B$ et $C$ trois propositions. Démontrer que les propositions $A\textrm{ ET }(B\textrm{ OU }C)$ et $(A\textrm{ et }B)\textrm{ OU }(A\textrm{ ET }C)$ sont équivalentes.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Opérateur logique universel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit d'un opérateur logique qu'il est universel s'il permet de reconstituer tous les autres opérateurs logiques. En pratique, il suffit de vérifier que l'on peut reconstituer les trois opérateurs logiques $\textrm{NON}$, $\textrm{OU}$ et $\textrm{ET}$ pour montrer qu'un opérateur est universel. Démontrer que les deux opérateurs suivants sont universels :
  1. l'opérateur $\textrm{NAND}$, défini par $A\textrm{ NAND }B=\textrm{NON}(A\textrm{ ET }B)$;
  2. l'opérateur $\textrm{NOR}$, défini par $A\textrm{ NOR }B=\textrm{NON}(A\textrm{ OU }B)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Négation de l'implication [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P$ et $Q$ deux propositions. Montrer que les propositions $\textrm{NON}(P\implies Q)$ et $P\textrm{ ET NON }Q$ sont équivalentes.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Forme normale conjonctive et disjonctive [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Écrire sous forme normale conjonctive et sous forme normale disjonctive les propositions ci-dessous :
  1. $(\lnot p \wedge q) \implies r$;
  2. $\lnot(p \vee \lnot q) \wedge (s \implies t)$;
  3. $\lnot(p \wedge q) \wedge (p \vee q)$;
Indication
Corrigé
Exercice 6 - La pluie et le parapluie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
"S'il pleut, Abel prend un parapluie. Béatrice ne prend jamais de parapluie s'il ne pleut pas et en prend toujours un quand il pleut". Que peut-on déduire de ces affirmations dans les différentes situations ci-dessous? Justifier soigneusement vos réponses en introduisant 3 propositions logiques $p$, $q$ et $r$.
  1. Abel se promène avec un parapluie.
  2. Abel se promène sans parapluie.
  3. Béatrice se promène avec un parapluie.
  4. Béatrice se promène sans parapluie.
  5. Il ne pleut pas.
  6. Il pleut.
Indication
Corrigé
Conditions nécessaires, conditions suffisantes
Exercice 7 - Nécessaire ou suffisante? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On rappelle qu'un entier $p$ divise $n$, et on note $p|n$, s'il existe un entier relatif $k$ tel que $n=k\times p$.
  1. Est-ce que $6|n$ est une condition nécessaire à ce que $n$ soit pair?
  2. Est-ce que $6|n$ est une condition suffisante à ce que $n$ soit pair?
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Trouver des conditions nécessaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver des conditions nécessaires (pas forcément suffisantes) à chacune des propositions suivantes :
  1. Avoir son bac.
  2. Le point $A$ appartient au segment $[BC]$.
  3. Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
Corrigé
Exercice 9 - Trouver des conditions suffisantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver des conditions suffisantes (pas forcément nécessaires) à chacune des propositions suivantes :
  1. Avoir son bac.
  2. Le point $A$ appartient au segment $[BC]$.
  3. Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle.
Corrigé
Exercice 10 - Condition nécessaire, suffisante, pour avoir un rectangle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit la proposition $P$ : "Le quadrilatère $ABCD$ est un rectangle" et les propositions
  1. $Q1$ : "Les diagonales de $ABCD$ ont même longueur"
  2. $Q2$ : "$ABCD$ est un carré"
  3. $Q3$ : "$ABCD$ est un parallélogramme ayant un angle droit"
  4. $Q4$ : "Les diagonales de $ABCD$ sont médiatrices l'une de l'autre"
  5. $Q5$ : "Les diagonales de $ABCD$ ont même milieu".
Dire si chacune des propositions $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $Q_4$, $Q_5$ est pour $P$ une condition nécessaire non suffisante, une condition suffisante non nécessaire, une condition nécessaire et suffisante, ou ni l'un ni l'autre.
Corrigé
Exercice 11 - Beaucoup de bruit pour rien... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Parmi toutes les propositions suivantes, regrouper par paquets celles qui sont équivalentes :
  1. Tu auras ton examen si tu travailles régulièrement.
  2. Pour avoir son examen, il faut travailler régulièrement.
  3. Si tu ne travailles pas régulièrement, tu n'auras pas ton examen.
  4. Il est nécessaire de travailler régulièrement pour avoir son examen.
  5. Pour avoir son examen, il suffit de travailler régulièrement.
  6. Ne pas travailler régulièrement entraîne un échec à l'examen.
  7. Si tu n'as pas ton examen, c'est que tu n'as pas travaillé régulièrement.
  8. Travail régulier implique réussite à l'examen.
  9. On ne peut avoir son examen qu'en travaillant régulièrement
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Qui est suffisant à qui??? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$, $B$ et $C$ trois propositions. Si on admet que $(A\implies B)\implies C$ est vrai, qui est, avec certitude, nécessaire à qui? Qui est suffisant à qui?
Indication
Corrigé
Quantificateurs
Enoncé
Déterminer parmi les propositions suivantes lesquelles sont vraies :
  1. 136 est un multiple de 17 et 2 divise 167.
  2. 136 est un multiple de 17 ou 2 divise 167.
  3. $\exists x\in \mathbb R,\ (x+1=0\ \textrm{ et }x+2=0)$.
  4. $(\exists x\in\mathbb R,\ x+1=0)\textrm{ et }(\exists x\in\mathbb R,\ x+2=0)$.
  5. $\forall x\in\mathbb R,\ (x+1\neq 0\textrm{ ou }x+2\neq 0)$.
  6. $\exists x\in\mathbb R^*,\ \forall y\in\mathbb R^*,\ \forall z\in\mathbb R^*,\ z-xy=0$;
  7. $\forall y\in\mathbb R^*,\exists x\in\mathbb R^*,\ \forall z\in\mathbb R^*,\ z-xy=0$;
  8. $\forall y\in\mathbb R^*,\forall z\in\mathbb R^*,\ \exists x\in\mathbb R^*,\ z-xy=0$;
  9. $\exists a\in\mathbb R,\ \forall \veps>0,\ |a|<\veps$;
  10. $\forall \veps>0,\ \exists a\in\mathbb R,\ |a|<\veps$.
Corrigé
Exercice 14 - Nier des assertions avec quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Nier les assertions suivantes :
  1. $\forall x\in \mathbb R,\ f(x)\neq 0$.
  2. $\forall M>0,\ \exists A>0,\ \forall x\geq A,\ f(x)>M$.
  3. $\forall x\in \mathbb R,\ f(x)>0\implies x\leq 0$.
  4. $\forall \veps>0,\ \exists \eta>0, \forall (x,y)\in I^2,\ \big(|x-y|\leq \eta\implies |f(x)-f(y)|\leq\veps\big).$
Corrigé
Enoncé
Soit $n$ un entier naturel non nul. On note $C_n$ la courbe d'équation $y=(1+x)^n$.
  1. Rappeler l'équation de la tangente à $C_n$ au point $A$ de $C_ n$ d'abscisse 0.
  2. Tracer (par exemple à l'aide d'un logiciel) $C_n$ et $D_n$ lorsque $n=2,3$.
  3. En vous aidant du graphique pour obtenir une conjecture, démontrer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses.
    1. $\forall n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R,\ (1+x)^n\geq 1+nx$;
    2. $\forall n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R_+,\ (1+x)^n \geq 1+nx$;
    3. $\exists n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R,\ (1+x)^n =1+nx$;
    4. $\forall n\in\mathbb N^*,\ \exists x\in\mathbb R,\ (1+x)^n=1+nx$;
    5. $\exists n\in\mathbb N^*,\ \forall x\in\mathbb R^*,\ (1+x)^n>1+nx$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Du texte aux quantificateurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Exprimer à l'aide de quantificateurs les assertions suivantes :
  1. $f$ est constante;
  2. $f$ n'est pas constante;
  3. $f$ s'annule;
  4. $f$ est périodique.
Corrigé
Exercice 17 - Du quantificateur au texte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. Énoncer en langage courant les assertions suivantes écrites à l'aide de quantificateurs. Peut-on trouver une fonction qui satisfait cette assertion? Qui ne la satisfait pas?
  1. $\forall x\in \mathbb R,\ \exists y\in \mathbb R,\ f(x)< f(y);$
  2. $\forall x\in\mathbb R,\ \exists T\in\mathbb R,\ f(x)=f(x+T);$
  3. $\forall x\in\mathbb R,\ \exists T\in\mathbb R^*,\ f(x)=f(x+T);$
  4. $\exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R,\ y=f(x).$
Corrigé
Exercice 18 - Limites de validité d'une proposition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les réels $x$ pour lesquels l'assertion suivante est vraie : $$\forall y\in[0,1],\ x\geq y\implies x\geq 2y.$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Une proposition sur les fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. On considère la proposition $p$ suivante : $$p=(\exists t\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R,\ f(x)<t).$$
  1. Écrire la négation de $p$.
  2. Donner un exemple de fonction $f$ qui vérifie $p$; un exemple qui ne vérifie pas $p$.
  3. Parmi les propositions ci-dessous, déterminer celles qui sont équivalentes à $p$, celles qui sont toujours vraies, celles qui sont toujours fausses, et celles pour lesquelles on ne peut rien dire.
    1. $p_1=(\exists x\in\mathbb R,\ \forall t\in\mathbb R,\ f(t)<x);$
    2. $p_2=(\exists t\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R,\ f(t)<x);$
    3. $p_3=(\forall t\in\mathbb R,\ \exists x\in\mathbb R,\ f(x)<t);$
    4. $p_4=(\forall t\in\mathbb R,\ \exists x\in\mathbb R,\ f(t)<x).$
Corrigé