$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Ensembles

Enoncé
Écrire en extension (c'est-à-dire en donnant tous leurs éléments) les ensembles suivants : $$A=\left\{\textrm{nombres entiers compris entre $\sqrt{2}$ et $2\pi$.}\right\}.$$ $$B=\left\{x\in\mtc;\ \exists(n,p)\in\mtn\times\mtn,\ x=\frac{p}{n}\textrm{ et }1\leq p\leq 2n\leq 7.\right\}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Écrire l'ensemble des parties de $E=\left\{a,b,c,d\right\}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Est-ce que $C\subset A\cup B$ entraîne $C\subset A$ ou $C\subset B$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $A,B,C$ trois ensembles tels que $A\cup B=B\cap C$. Montrer que $A\subset B\subset C$.
Corrigé
Exercice 5 - Deux descriptions d'un même ensemble [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ 4x-y=1\}$ et $C=\{(t+1,4t+3);\ t\in\mathbb R\}$. Démontrer que $A=C$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $A$, $B$ et $C$ trois parties d'un ensemble $E$. Pour $X\subset E$, on note $X^c$ le complémentaire de $X$ dans $E$. Démontrer les lois de Morgan suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)&&\mathbf{2.}\ (A^c)^c=A\\ \mathbf{3.}\ (A\cap B)^c=A^c\cup B^c&&\mathbf{4.}\ (A\cup B)^c=A^c\cap B^c.\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2+y^2\leq 1\}$. Démontrer que $D$ ne peut pas s'écrire comme le produit cartésien de deux parties de $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Réunion et intersection égales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble et $A,B,C$ trois éléments de $\mathcal P(E)$.
  1. Démontrer que, si $A\cap B=A\cup B$, alors $A=B$.
  2. Démontrer que, si $A\cap B=A\cap C$ et $A\cup B=A\cup C$, alors $B=C$. Une seule des deux conditions suffit-elle?
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Différence symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble, et $A,B$ deux sous-ensembles de $E$. On appelle \emph{différence symétrique} de $A$ et $B$, notée $A\Delta B$, le sous-ensemble de $E$ : $$A\Delta B=\{x\in A\cup B;\ x\notin A\cap B\}.$$
  1. Interpréter les éléments de $A\Delta B$.
  2. Montrer que $A\Delta B=(A\cap C_EB)\cup (B\cap C_EA)$ ($C_EA$ désigne le complémentaire de $A$ dans $E$).
  3. Calculer $A\Delta A$, $A\Delta \varnothing$, $A\Delta E$, $A\Delta C_E A$.
  4. Démontrer que pour tous $A,B,C$ sous-ensembles de $E$, on a : $$(A\Delta B)\cap C=(A\cap C)\Delta (B\cap C).$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Retour sur la différence symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble et soient $A,B$ deux parties de $E$. On rappelle que la \emph{différence symétrique} de $A$ et $B$ est définie par $$A \Delta B = (A\cap \bar{B})\cup \left(\bar{A}\cap B\right)$$ où $\bar A$ (resp. $\bar B$) désigne le complémentaire de $A$ (resp. de $B$) dans $E$. Démontrer que $A\Delta B=B$ si et seulement si $A=\varnothing$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Équations et ensembles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble et soit $A,B\in\mathcal P(E)$. Résoudre les équations suivantes, d'inconnue $X\in\mathcal P(E)$ :
  1. $A\cup X=B$;
  2. $A\cap X=B$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Fonction caractéristique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une partie d'un ensemble $E$. On appelle fonction caractéristique de $A$ l’application $f$ de $E$ dans l’ensemble à deux éléments $\{0, 1\}$ telle que : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\textrm{ si }x\in A\\ 0&\textrm{ si }x\notin A \end{array}\right.$$ Soient $A$ et $B$ deux parties de $E$, $f$ et $g$ leurs fonctions caractéristiques. Montrer que les fonctions suivantes sont les fonctions caractéristiques d’ensembles que l’on déterminera :
  1. $1-f$;
  2. $fg$;
  3. $f+g-fg$.
Indication
Corrigé