$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Applications : composition, injectivité, surjectivité

Pour comprendre le cours
Enoncé
Les fonctions suivantes sont-elles injectives? surjectives? bijectives? $$f_1:\mtz\to \mtz,\ n\mapsto 2n,\ f_2:\mtz\to\mtz,\ n\mapsto -n$$ $$f_3:\mtr\to \mtr,\ x\mapsto x^2,\ f_4:\mtr\to\mtr_+,\ x\mapsto x^2$$ $$f_5:\mtc\to \mtc, z\mapsto z^2.$$
Corrigé
Enoncé
Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives?
  1. $f:\mtn\to\mtn,\ n\mapsto n+1$.
  2. $g:\mtz\to\mtz,\ n\mapsto n+1$.
  3. $h:\mtr^2\to\mtr^2,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-y)$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Injective ou surjective [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'application $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^2,\ (x,y)\mapsto (x+y,xy)$ est-elle injective? surjective?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Exemples d'image directe et d'image réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$, $x\mapsto x^2$, et soit $A=[-1,4]$. Déterminer
    1. l'image directe de $A$ par $f$;
    2. l'image réciproque de $A$ par $f$.
  2. On considère la fonction $\sin:\mathbb R\to \mathbb R$. Quelle est l'image directe, par $\sin$, de $\mathbb R$? De $[0,2\pi]$? de $[0,\pi/2]$? Quelle est l'image réciproque, par $\sin$, de $[0,1]$? de $[3,4]$? de $[1,2]$?
Corrigé
Exercice 5 - Composition non commutative [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $f$ et $g$ les deux fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ définies par $$f(x)=3x+1\textrm{ et }g(x)=x^2-1.$$ Calculer $f\circ g$ et $g\circ f$.
  2. Dans les exemples suivants, déterminer deux fonctions $u$ et $v$ telles que $h=u\circ v$ : $$h_1(x)=\sqrt{3x-1}\quad h_2(x)=\sin\left(x+\frac \pi 2\right)\quad h_3(x)=\frac 1{x+7}.$$
Corrigé
Exercice 6 - Composition et injectivité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f$ et $g$ les applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ définies par $f(x)=2x$ et $$g(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac x2&\textrm{ si $x$ est pair}\\ 0&\textrm{ si $x$ est impair.} \end{array} \right.$$ Déterminer $g\circ f$ et $f\circ g$. $f$ et $g$ sont-elles injectives? surjectives? bijectives?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Calcul de la réciproque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la fonction $f:\mathbb R\to\mathbb R_+^*$ définie par $$f(x)=\frac{e^x+2}{e^{-x}}$$ est bijective. Calculer sa bijection réciproque $f^{-1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Avec des nombres complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que l'application $$ \begin{array}{rcl} f:\mathbb C\backslash \{-3\}&\to&\mathbb C\backslash \{i\}\\ z&\mapsto&\frac{iz-i}{z+3} \end{array}$$ est une bijection. Déterminer sa bijection réciproque.
Indication
Corrigé
Exemples plus avancés
Exercice 9 - Un exemple avec des fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mtr\to\mtr$ définie par $f(x)=2x/(1+x^2)$.
  1. $f$ est-elle injective? surjective?
  2. Montrer que $f(\mtr)=[-1,1]$.
  3. Montrer que la restriction $g:[-1,1]\to[-1,1]$, $g(x)=f(x)$ est une bijection.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{x}{x+1}$. Déterminer $f\circ f\circ\dots\circ f(x)$ (où le symbole $f$ apparaît $n$ fois) en fonction de $n\in\mathbb N^*$ et de $x\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Une bijection de $\mathbb N^2$ dans $\mathbb N$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb N^2\to\mathbb N^*$, $(n,p)\mapsto 2^n(2p+1)$. Démontrer que $f$ est une bijection. En déduire une bijection de $\mathbb N^2$ sur $\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Un exemple avec de l'arithmétique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb Z\times\mathbb N^*\to\mathbb Q$, $(p,q)\mapsto p+\frac 1q$. $f$ est-elle injective, surjective?
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Déterminer une bijection de $\mtn\to \mtn^*$.
  2. Déterminer une bijection de $\{1/n;\ n\geq 1\}$ dans $\{1/n;\ n\geq 2\}$.
  3. Déduire de la question précédente une bijection de $[0,1]$ dans $[0,1[$.
  4. Déterminer une bijection de $\mtn\to\mtz$
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Exercice 14 - Composition, injectivité et surjectivité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère 4 ensembles $A,B,C$ et $D$, et des applications $f:A\to B$, $g:B\to C$ et $h:C\to D$. Montrer que $$g\circ f\textrm{ injective}\implies f\textrm{ injective,}$$ $$g\circ f\textrm{ surjective}\implies g\textrm{ surjective.}$$ Montrer que : $$\big(g\circ f\textrm{ et }h\circ g\textrm{ sont bijectives }\big)\iff \big(f,g\textrm{ et }h\textrm{ sont bijectives}\big).$$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Image directe de l'image réciproque...et vice-versa! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux ensembles et $f:E\to F$. Démontrer que
  1. $\forall A \in {\mathcal{P}}(E),A \subset f^{ - 1} (f(A))$;
  2. $\forall B \in {\mathcal{P}}(F),f(f^{ - 1} (B)) \subset B$.
  3. Question subsidiaire (plus difficile) : a-t-on égalité en général?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Ensembles et images réciproques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux ensembles et soit $f:E\to F$. Soient également $A$ et $B$ deux parties de $F$.
  1. Démontrer que $A\subset B\implies f^{-1}(A)\subset f^{-1}(B)$. La réciproque est-elle vraie?
  2. Démontrer que $f^{-1}(A\cap B)=f^{-1}(A)\cap f^{-1}(B)$.
  3. Démontrer que $f^{-1}(A\cup B)=f^{-1}(A)\cup f^{-1}(B)$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Ensembles et images directes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux ensembles et soit $f:E\to F$. Soient également $A$ et $B$ deux parties de $E$.
  1. Démontrer que $A\subset B\implies f(A)\subset f(B)$. La réciproque est-elle vraie?
  2. Démontrer que $f(A\cap B)\subset f(A)\cap f(B)$. L'inclusion réciproque est-elle vraie?
  3. Démontrer que $f(A\cup B)=f(A)\cup f(B)$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Intersection d'images et d'images réciproques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E,F$ deux ensembles et $f:E\to F$. Soit $A\subset E$ et $B\subset F$. Démontrer l'équivalence : $$f(A)\cap B= \varnothing\iff A\cap f^{-1}(B)= \varnothing.$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Image directe et injectivité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:X\to Y$. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
  1. $f$ est injective.
  2. Pour tous $A,B$ de $X$, on a $f(A\cap B)=f(A)\cap f(B)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $X,Y$ deux ensembles et $f:X\to Y$ une application.
  1. Montrer que $f$ est injective si et seulement si, pour tout $g:Z\to X$ et tout $h:Z\to X$, on a $f\circ g=f\circ h\implies g=h$.
  2. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si, pour tout $g:Y\to Z$ et tout $h:Y\to Z$, on a $g\circ f=h\circ f\implies g=h$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Bijectivité et passage au complémentaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:E\to F$. Montrer que $f$ est bijective si et seulement si, pour tout $A$ de $\mathcal P(E)$, on a $f(\overline A)=\overline{f(A)}$ ($\overline A$ désigne le complémentaire de $A$).
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Fonction définie sur l'ensemble des parties [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un ensemble, $\mathcal P(E)$ l'ensemble de ses parties, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. On définit $$\begin{array}{cccc} f:&\mathcal P(E)&\to&\mathcal P(A)\times\mathcal P(B)\\ &X&\mapsto &(X\cap A,X\cap B). \end{array} $$
  1. Montrer que $f$ est injective si et seulement si $A\cup B=E$.
  2. Montrer que $f$ est surjective si et seulement si $A\cap B=\varnothing$.
  3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $A$ et $B$ pour que $f$ soit bijective. Donner dans ce cas la bijection réciproque.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Fonctions et fonctions d'ensemble [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux ensembles, et $f:E\to F$. On définit deux applications $f^\sharp$ et $f_\sharp$ par : \begin{eqnarray*} f^\sharp:\mathcal P(E)\to\mathcal P(F),&&f^\sharp(A)=f(A)\\ f_\sharp:\mathcal P(F)\to\mathcal P(E),&&f_\sharp(A)=f^{-1}(A). \end{eqnarray*} Démontrer que
  1. $f^\sharp$ est injective si et seulement si $f$ est injective.
  2. $f_\sharp$ est injective si et seulement si $f$ est surjective.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Théorème de Cantor-Bernstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de démontrer un célèbre théorème de Cantor et Bernstein : si $E$ et $F$ sont des ensembles tels qu'il existe une injection de $E$ dans $F$ et une injection de $F$ dans $E$, alors il existe une bijection de $E$ sur $F$. On se donne donc deux ensembles $E$ et $F$ et deux applications injectives $i:E\to F$ et $j:F\to E$. On note par ailleurs $$A_0=E\backslash j(F),\ A_1=(j\circ i)(A_0),\dots, A_{n+1}=(j\circ i)(A_n)$$ et $$B=\bigcup_{n\geq 1}A_n,\ C=E\backslash B.$$
  1. Construction de l'application.
    1. Démontrer que pour tout $x\in C$, il existe un unique $z\in F$ tel que $j(x)=z$. On notera cet élément $\phi(x)$.
    2. Pour $x\in B$, on note $\phi(x)=i(x)$. Démontrer que l'on a ainsi bien défini une application $\phi:E\to F$.
  2. Injectivité de $\phi$.
    1. Démontrer que les restrictions de $\phi$ à $B$ et à $C$ sont injectives.
    2. Considérons maintenant $x\in C$ et $y\in B$ tels que $\phi(x)=\phi(y)$. Démontrer que $x=(j\circ i)(y)$.
    3. En déduire que $\phi$ est injective.
  3. Surjectivité de $\phi$. Démontrer que $\phi$ est surjective.
  4. Un exemple. Pour $E=\mathbb N$, $F=\{2,3,\dots,\}$, $i:E\to F,\ n\mapsto n+4$, $j:F\to E,\ n\mapsto n$, déterminer les ensembles $A_n$, $B$, $C$ et l'application $\phi$.
Indication
Corrigé